問題
半径の球面上に4点，，，がある。四面体の各辺の長さは，
を満たしている。このときの値を求めよ。
出典：東京大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文科第1問・理科第1問
方針
辺 の中点を原点に置き、 を座標軸に取る。 はともに から距離2なので、 の垂直二等分平面上にある。さらに を満たすように を対称に置けば、外接球の中心も対称性から1本の直線上に限られる。最後は を立てて中心の位置を決め、半径を求める。
解答
座標を
とおく。このとき である。
点 はともに から距離2にあるので、 の垂直二等分平面、すなわち平面 上にある。さらに であるから、 を対称に と置ける。実際、 かつ であり、 についても同じである。
外接球の中心を とする。 から等距離で、かつ からも等距離でなければならないので、対称性から とおける。条件 より である。右辺を展開すると だから すなわち となる。よって である。
したがって半径 は
を満たす。半径は正なので である。
別解。座標を最小限にしてもよい。 を の中点、 を の中点とする。 は から等距離なので は と垂直であり、また である。直角三角形 から であり、直角三角形 から となるので である。外接球の中心 は と の垂直二等分条件から直線 上にある。 とすると で、 である。 から を得て、同じく となる。