東京大学 2000年度
文理共通数学 文科第4問・理科第2問

解答

まず円の条件を書き換える。$z\ne 0$ について $\left|z-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$ は、両辺を2乗して $\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\bar{z}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$ すなわち $z\bar{z}=\frac{z+\bar{z}}{2}$ と同値である。さらに $z\bar{z}$ で割ると $\frac{1}{z}+\frac{1}{\bar{z}}=2$ であり、これは $1/z$ の実部が $1$ であることと同値である。

十分性を示す。$P(\alpha ),Q(\beta )$ がこの円周上にあるとする。すると実数 $s,t$ を用いて $\frac{1}{\alpha }=1+is,\frac{1}{\beta }=1+it$ と書ける。$\alpha \ne \beta$ より $s\ne t$ である。このとき

である。

まず $\alpha \beta$ が直線 $PQ$ 上にあることを示す。直線上にあるためには $\frac{\alpha \beta -\alpha }{\beta -\alpha }$ が実数であればよい。実際、上の式を用いると

であり、$1/\beta =1+it$ から $(\beta -1)/\beta =1-1/\beta =-it$ なので

となる。これは実数である。

次に、原点から $\alpha \beta$ へ向かう方向が直線 $PQ$ に垂直であることを示す。直線 $PQ$ の方向は $\beta -\alpha$ であるから、

は純虚数である。したがって $O$ と $\alpha \beta$ を結ぶ直線は $PQ$ に垂直である。以上より、原点から直線 $l$ に下ろした垂線の足は $w=\alpha \beta$ である。

必要性を示す。逆に $w=\alpha \beta$ であるとする。垂線の足は直線 $l$ 上にあるから、$\alpha \beta$ は直線 $PQ$ 上にある。よって $\frac{\alpha \beta -\alpha }{\beta -\alpha }$ は実数である。また $O$ から $\alpha \beta$ への方向は $l$ に垂直なので $\frac{\alpha \beta }{\beta -\alpha }$ は純虚数である。

したがって、前者を後者で割った $\frac{\alpha \beta -\alpha }{\alpha \beta }=1-\frac{1}{\beta }$ は純虚数である。よって $1/\beta$ の実部は $1$ であり、上で示した円の条件から $Q(\beta )$ は中心 $1/2$、半径 $1/2$ の円周上にある。

同様に、$\alpha \beta$ が直線 $PQ$ 上にあることから $\frac{\alpha \beta -\beta }{\alpha -\beta }$ は実数であり、垂直条件から $\frac{\alpha \beta }{\alpha -\beta }$ は純虚数である。両者の商 $\frac{\alpha \beta -\beta }{\alpha \beta }=1-\frac{1}{\alpha }$ は純虚数なので、$1/\alpha$ の実部も $1$ である。したがって $P(\alpha )$ も同じ円周上にある。

以上により、$w=\alpha \beta$ であるための必要十分条件は、$P(\alpha ),Q(\beta )$ が中心 $1/2$、半径 $1/2$ の円周上にあることである。

別解。円周上の点を $z=1/(1+it)$ と表すと、この円は原点を通る円であり、直線 $PQ$ の方向と $OP$、$OQ$ の関係が計算しやすくなる。実数媒介変数 $s,t$ によって $\beta -\alpha =i(s-t)\alpha \beta$ が一行で出るため、直線上条件と垂直条件が同時に確認できる。