東京大学 1999年度文理共通数学文科第1問・理科第1問解答・解説

問題

(1) 一般角 $θ$ に対して $sin θ$ ， $cos θ$ の定義を述べよ。

(2) (1)で述べた定義にもとづき，一般角 $α$ ， $β$ に対して

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

を証明せよ。

出典：東京大学 1999年度前期日程第2次学力試験文理共通文科第1問・理科第1問

方針

一般角の三角関数は、単位円上の点の座標として定義するのが最も基本的である。正の向き、負の向き、何回転してもよいことを含めて、角 $θ$ の動径と単位円の交点を $(cos θ, sin θ)$ と定める。(2)では、角 $α$ の方向の単位ベクトルと、それを反時計回りに $9 0^{\circ}$ 回した単位ベクトルを基底のように用いる。角 $α$ からさらに $β$ だけ回した単位ベクトルを $cos β$ 倍と $sin β$ 倍の和で表し、標準座標の成分を比較すれば、正弦・余弦の加法定理が同時に出る。

解答

(1)

座標平面に、原点 $O$ を中心とする半径1の円をとる。正の $x$ 軸を始線とし、反時計回りを正の向き、時計回りを負の向きとする。

一般角 $θ$ について、正の $x$ 軸から角 $θ$ だけ回転した半直線と単位円との交点を $P$ とする。この点 $P$ の座標を $P = (X, Y)$ とするとき $cos θ = X, sin θ = Y$ と定義する。すなわち、一般角 $θ$ の余弦は単位円上の対応する点の $x$ 座標、正弦は $y$ 座標である。この定義では、 $θ$ が負の角や $36 0^{\circ}$ をこえる角であっても、対応する半直線と単位円の交点が一意に定まるので、 $sin θ$ 、 $cos θ$ が定義される。

(2)

角 $α$ に対応する単位円上の点の位置ベクトルを $u = (cos α, sin α)$ とする。これは角 $α$ の方向を向く長さ1のベクトルである。また、 $u$ を反時計回りに $9 0^{\circ}$ 回転したベクトルを $v = (- sin α, cos α)$ とおく。 $v$ も長さ1で、 $u$ と垂直である。

角 $α$ の方向を新しい基準方向と見たとき、そこからさらに角 $β$ だけ回した方向の単位ベクトルは、(1)の定義により $cos β u + sin β v$ で表される。この方向は、もとの座標平面では角 $α + β$ の方向である。したがって

(cos (α + β), sin (α + β)) = cos β (cos α, sin α) + sin β (- sin α, cos α)

である。

右辺を成分ごとに計算すると

cos β (cos α, sin α) + sin β (- sin α, cos α) = (cos α cos β - sin α sin β, sin α cos β + cos α sin β)

である。よって成分を比較して $cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β,$ $sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$ を得る。これは一般角 $α, β$ に対して成り立つ。

東京大学 1999年度文理共通数学 文科第1問・理科第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1999年度
文理共通数学文科第1問・理科第1問