東京大学 1998年度文理共通数学文科第1問・理科第1問解答・解説

問題

$a$ は0でない実数とする。関数

f (x) = (3 x^{2} - 4) (x - a + \frac{1}{a})

の極大値と極小値の差が最小となる $a$ の値を求めよ。

出典：東京大学 1998年度前期日程第2次学力試験文理共通文科第1問・理科第1問

方針

まず $t = a - 1/ a$ とおき、 $a$ が入る場所を $x - t$ の平行移動成分だけに集約する。導関数は2次式になり、3次関数の極大値と極小値の差は、導関数が負になる区間で $- f^{'} (x)$ を足し合わせることで求められる。したがって、極値を直接代入するのではなく、導関数の2つの零点 $α < β$ とその間隔 $β - α$ を求める。最後は差が $t^{2}$ の増加関数になることを確認し、 $a - 1/ a = 0$ を解く。

解答

$t = a - 1/ a$ とおく。すると $f (x) = (3 x^{2} - 4) (x - t)$ である。これを展開して微分すると $f^{'} (x) = 9 x^{2} - 6 t x - 4$ となる。 $f^{'} (x) = 0$ の2つの解を $α < β$ とする。解の公式より $α = \frac{t - t ^{2} + 4}{3}, β = \frac{t + t ^{2} + 4}{3}$ である。よって $β - α = \frac{2 t ^{2} + 4}{3}$ である。

導関数 $f^{'} (x)$ は上に開く2次式であり、 $α < x < β$ では負である。したがって $x = α$ で極大、 $x = β$ で極小をとる。極大値と極小値の差は $f (α) - f (β) = - \int_{α}^{β} f^{'} (x) d x$ である。また $f^{'} (x) = 9 (x - α) (x - β)$ だから、 $h = β - α$ とおき、 $x = α + u$ とすれば

- \int_{α}^{β} 9 (x - α) (x - β) d x = - 9 \int_{0}^{h} u (u - h) d u = 9 \int_{0}^{h} (h u - u^{2}) d u = 9 (\frac{h ^{3}}{2} - \frac{h ^{3}}{3}) = \frac{3}{2} h^{3}

である。したがって

f (α) - f (β) = \frac{3}{2} (\frac{2 t ^{2} + 4}{3})^{3} = \frac{4}{9} (t^{2} + 4)^{3/2}

となる。

これは $t^{2}$ が小さいほど小さく、最小になるのは $t = 0$ のときである。すなわち $a - \frac{1}{a} = 0$ であり、 $a \neq = 0$ なので両辺に $a$ を掛けて $a^{2} - 1 = 0$ を得る。よって $a = 1, - 1$ である。

東京大学 1998年度文理共通数学 文科第1問・理科第1問

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