問題
，を正の数とし，平面の2点およびを頂点とする正三角形をとする。ただし，は第1象限の点とする。
(1) 三角形が正方形
に含まれるようなの範囲を求めよ。
(2) が(1)の範囲を動くとき，三角形の面積が最大となるようなを求めよ。また，そのときのの値を求めよ。
出典：東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文科第2問・理科第1問
方針
第3頂点を、の中点からに垂直な向きへ正三角形の高さだけ進んだ点として座標表示する。正方形に含まれる条件は、頂点の座標がすべてに入ることに等しい。面積は一辺の長さの2乗に比例するので、得られた多角形領域の頂点上でを比較する。
解答
(1)
, であり、は第1象限にある。線分の中点は である。またに垂直で第1象限側を向くベクトルとしてをとれば、正三角形の第3頂点は である。したがって となる。
三角形が正方形に含まれるには、3頂点がすべてに含まれればよい。は正なので、について が必要である。さらにについて である。よって求める範囲は
である。
(2)
正三角形の一辺の長さは であるから、面積は である。したがってを最大にすればよい。
(1)の範囲は直線で囲まれる多角形である。は原点からの距離の2乗なので、最大値は境界上、特に候補となる頂点で調べればよい。関係する頂点は
である。
それぞれのを比べると、 である。一方、 では、いずれも である。ここで なので、最大値はこの3点で達する。
したがって面積の最大値は であり、最大となるは である。