東京大学 1996年度
文理共通数学 文科第2問・理科第2問

解答

二次式を $q(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc)$ とおく。

仮定より $s>0$，$t>0$ であるから，$\lambda =t/s$ とおくと $\lambda >0$ であり，二つの不等式は $1-a-\lambda b>0,1-d-\frac{c}{\lambda }>0$ となる。特に $1-a>\lambda b>0,1-d>\frac{c}{\lambda }>0$ であるから $0<a<1,0<d<1$ である。また二つの不等式を掛け合わせると $(1-a)(1-d)>\lambda b\cdot \frac{c}{\lambda }=bc$ を得る。

ここで $q(1)=1-a-d+ad-bc=(1-a)(1-d)-bc>0$ である。さらに $q(-1)=1+a+d+ad-bc=(1+a)(1+d)-bc$ であり，$(1+a)(1+d)-(1-a)(1-d)=2a+2d>0$ だから $(1+a)(1+d)>(1-a)(1-d)>bc$ となり，$q(-1)>0$ である。

一方，$0<a<1$ を用いて $x=a$ を代入すると $q(a)=a^2-a(a+d)+ad-bc=-bc<0$ である。したがって $q(x)$ は区間 $(-1,a)$ で正から負へ，区間 $(a,1)$ で負から正へ符号を変える。二次式は連続であるから，方程式 $q(x)=0$ は $(-1,a)$ に少なくとも一つ，$(a,1)$ に少なくとも一つの実数解をもつ。

これら二つの区間は交わらないので，得られた二つの解は異なる。また二次方程式の実数解は高々二つである。よって与えられた二次方程式は $-1<x<1$ の範囲に異なる二つの実数解をもつ。