東京大学 1995年度
文理共通数学 文科第1問・理科第1問

解答

$u=\sqrt{x}$，$v=\sqrt{y}$ とおくと，$u>0$，$v>0$ であり，もとの不等式は $u+v\leqq k\sqrt{2u^2+v^2}$ となる。したがって，すべての正の $u,v$ について $\frac{u+v}{\sqrt{2u^2+v^2}}\leqq k$ となるような $k$ の最小値を求めればよい。

ここで $u+v=(\sqrt{2}u)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+v\cdot 1$ と見れば，

である。$u+v>0$ なので平方根をとって $u+v\leqq \sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{2u^2+v^2}$ を得る。したがって $k=\sqrt{3/2}$ なら条件は満たされる。

次に等号成立を確認する。上の不等式で等号が成り立つのは $\frac{\sqrt{2}u}{1/\sqrt{2}}=\frac{v}{1}$ すなわち $v=2u$ のときである。たとえば $u=1$，$v=2$，つまり $x=1$，$y=4$ は正の実数であり，このとき $\frac{u+v}{\sqrt{2u^2+v^2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$ となる。よってこれより小さい $k$ では不等式はすべての正の $x,y$ については成り立たない。

以上より，求める最小値は $\sqrt{\frac{3}{2}}$ である。

別解。$t=v/u$ とおくと $t>0$ であり，${\left(\frac{u+v}{\sqrt{2u^2+v^2}}\right)}^2=\frac{(1+t{)}^2}{2+t^2}$ である。右辺を $F(t)$ とおくと $F^{\prime }(t)=\frac{2(1+t)(2-t)}{(2+t^2{)}^2}$ となる。したがって $0<t<2$ で増加し，$t>2$ で減少するから，最大は $t=2$ のときである。このとき $F(2)=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ であり，同じ結論を得る。