東京大学 1992年度
文理共通数学 文科第4問・理科第2問

解答

(1)

2つの格子点 $U(x_1,y_1)$，$V(x_2,y_2)$ を結ぶ線分を考える。座標差を $u=x_2-x_1,v=y_2-y_1$ とし，$d=\gcd (|u|,|v|)$ とおく。線分 $UV$ 上の格子点は $U+\frac{k}{d}(u,v)(k=0,1,2,\dots ,d)$ で表され，両端を除く格子点は $d-1$ 個である。

辺 $AB$ 上の両端を除く格子点が奇数個であるから，対応する $d-1$ が奇数である。したがって $d$ は偶数である。よって $A$ から $B$ への座標差の2成分はともに偶数である。同様に，$A$ から $C$ への座標差の2成分もともに偶数である。

すると $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ の2成分もともに偶数である。したがって辺 $BC$ に対応する最大公約数も偶数であり，辺 $BC$ 上の両端を除く格子点数は $\text{偶数}-1$ だから奇数個である。

(2)

平行移動しても格子点であることや面積は変わらないので，$A$ を原点としてよい。辺 $AB$ 上に両端を除いてちょうど3個の格子点があるから，$AB$ に対応する最大公約数は4である。したがって $B=(4m,4n)$ と書ける。同様に $C=(4r,4s)$ と書ける。ただし $m,n,r,s$ は整数である。

三角形 $ABC$ の面積は $\frac{1}{2}|(4m)(4s)-(4n)(4r)|=8|ms-nr|$ である。$|ms-nr|$ は整数なので，三角形 $ABC$ の面積は8で割り切れる整数である。

別解。(2)だけを合同式で見ると，内部格子点がちょうど3個であることから $B\equiv A(\mathrm{mod}4),C\equiv A(\mathrm{mod}4)$ が成り立つ。よって $B-A$，$C-A$ の各成分は4の倍数である。面積の2倍はこれら2つのベクトルから作る行列式の絶対値だから16の倍数であり，面積は8の倍数である。