東京大学 1988年度
文理共通数学 文科第2問・理科第1問

解答

点 $(1,0)$ がうつった先を $(p,q)$、点 $(0,1)$ がうつった先を $(r,s)$ とおく。一次変換なので、点 $(x,y)$ は $(X,Y)=(px+ry,qx+sy)$ へうつる。

条件 (i) より $(p,q)$ は第4象限の内部にあるから $p>0,q<0$ である。条件 (ii) より $(r,s)$ は第2象限の内部にあるから $r<0,s>0$ である。さらに $(1,1)$ は $(p+r,q+s)$ へうつるので、条件 (iii) より $p+r>0,q+s>0$ である。

この一次変換の行列式は $D=ps-qr$ である。$p>0$、$s>0$、$q<0$、$r<0$ だけを見ると、$ps$ と $qr$ はどちらも正なので、差の符号はまだ決まらない。ここで条件 (iii) を使う。

実際、$ps-qr=p(q+s)-q(p+r)$ と変形できる。いま $p>0,q+s>0,-q>0,p+r>0$ であるから $p(q+s)>0,-q(p+r)>0$ である。したがって $D=ps-qr=p(q+s)-q(p+r)>0$ となり、逆変換が存在する。

次に、$(X,Y)$ が第1象限の内部にある、すなわち $X>0,Y>0$ とする。逆変換を成分で書くと $x=\frac{sX-rY}{ps-qr},y=\frac{-qX+pY}{ps-qr}$ である。すなわち $x=\frac{sX-rY}{D},y=\frac{-qX+pY}{D}$ である。ここで $D>0,s>0,-r>0,-q>0,p>0$ なので、$X>0$、$Y>0$ ならば $x>0,y>0$ である。つまり、$f(P)$ が第1象限の内部にあれば、点 $P$ も第1象限の内部にある。

別解。2つのベクトル $(p,q)$、$(r,s)$ はそれぞれ第4象限、第2象限にあり、和 $(p+r,q+s)$ は第1象限にある。この配置では、$(p,q)$ から $(p+r,q+s)$ へ進む向きが反時計回りに正の面積を作る。したがって2つの基準ベクトルは同一直線上に並ばず、変換はつぶれない。この幾何的な見方を式にしたものが上の $ps-qr>0$ である。