東京大学 1981年度
文理共通数学 文科第4問・理科第4問

解答

条件（ロ）を考える。点 $A(1,1,0)$ を通り $z$ 軸に平行な直線の方向は鉛直方向である。直線 $PA$ がその方向となす角が $\pi /4$ であるから、$PA$ の水平成分の長さと鉛直成分の長さが等しい。$z>0$ なので $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=z^2$ である。同様に条件（ハ）から $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=z^2$ を得る。

2つの式を引くと $(y-1{)}^2-(y+1{)}^2=0$ であり、したがって $y=0$ である。これを上の式に代入して $z^2=(x-1{)}^2+1$ を得る。

次に $u=\tan \alpha (u\geqq 0)$ とおく。条件（ニ）は、点 $C$ から見た水平距離が $z\tan \alpha$ に等しいことを表すので、$y=0$ と合わせて $x^2=z^2{u}^2$ である。

まず $u=0$、すなわち $\alpha =0$ のときは $x=0$ である。よって $z^2=(-1{)}^2+1=2$ となり、$z>0$ より $z=\sqrt{2}$ である。この場合、点 $P$ は1個である。

以下 $u>0$ とする。$x=uz$ の場合、$z^2=(uz-1{)}^2+1$ より $(1-u^2)z^2+2uz-2=0$ である。$x=-uz$ の場合は $z^2=(-uz-1{)}^2+1$ より $(1-u^2)z^2-2uz-2=0$ である。 $0<u<1$ では、どちらの式も正の解を1つずつもつ。$\sqrt{2-u^2}$ を用いて整理すると、対応する $z$ は $z=\frac{2}{\sqrt{2-u^2}+u},z=\frac{2}{\sqrt{2-u^2}-u}$ である。したがって点は2個である。 $u=1$ のときは、$x=uz$ から $2z-2=0$ となり $z=1$ を得る。$x=-uz$ からは $-2z-2=0$ となり正の $z$ は得られない。よって点は1個で、$z=1$ である。 $1<u<\sqrt{2}$ では、正の解は $x=uz$ の式から2つ得られる。整理すると $z=\frac{2}{u+\sqrt{2-u^2}},z=\frac{2}{u-\sqrt{2-u^2}}$ である。したがって点は2個である。 $u=\sqrt{2}$ のときは重なって $z=\sqrt{2}$ だけを得るので、点は1個である。$u>\sqrt{2}$ では正の解がないので、点は存在しない。

以上を $u=\tan \alpha$ と戻してまとめると、

である。