問題
を満たす実数に対し，
とおく。必要ならば，であること，および，自然対数の底がを満たすことを証明なしで用いてもよい。
(1) とおくとき，関数 を求めよ。
(2) (1)で求めた関数に対し，を満たす2以上の実数がただ1つ存在することを示せ。
(3) 関数 の増減と極限を調べ， のグラフの概形を平面上に描け。ただし，(2)のを用いてよい。グラフの凹凸は調べなくてよい。
(4) を満たす整数の組に対して，等式
が成り立つとする。このような組をすべて求めよ。
方針
(1)は商の微分でを計算し，指定された分母に合わせてを読む。(2)はからが以後で単調減少すること，かつであることを示す。(3)はの符号をの符号で決める。(4)は与式をに変形し，からを示してを除く。残るは，両辺が同じ素因数だけを持つことと指数の倍数条件で絞り込む。
解答
(1)
である。商の微分より である。分母をにそろえると である。したがって である。
(2)
(1)で求めた を微分する。すると
である。のときなのでであり，ではより だから である。したがってはで単調減少である。
また である。一方，とおくとであり，のときである。よって となり，よりである。したがって，中間値の考え方と単調性により， を満たす以上の実数はただ1つ存在する。
(3)
では であるから，の符号はの符号と一致する。(2)より，はで正，で0，で負である。したがっては し，で最大値をとる。
また である。さらにとおくと であり，問題文で与えられた極限から である。ではなのでである。したがってグラフはから増加し，で最大となり，その後は軸の上側からに近づく形である。
(4)
与式 の両辺の自然対数をとると である。は正で，だから，両辺をで割って となる。すなわち である。
まずはありえないことを示す。よりであるから である。かつは単調減少なので，となるは を満たす。したがってならであり，はで減少する。よって となって，に反する。したがって だけを調べればよい。
のとき，与式は である。ならなので不可能である。
のとき， である。右辺が3乗であり，左辺は素数3だけからなるので，は3の倍数で，かつは3のべきでなければならない。とおくと より である。すなわち である。よりである。では となり成立するので，である。では，でであり，その後も指数側のの増え方が一次式より大きいので成立しない。したがってからは を得る。
のとき， である。したがっては4の倍数であり，とおくと である。すなわち である。よりであるが，で であり，が増えるとは5倍される一方，は8ずつしか増えないため，以後も等しくならない。よってでは解はない。
のとき， である。よってとおくと である。よりであるが，で であり，これ以後も指数関数側がさらに大きくなるので成立しない。よってでも解はない。
以上より，求める組は である。