問題
赤玉4個と白玉5個の入った，中の見えない袋がある。玉はすべて，色が区別できる他には違いはないものとする。A，Bの2人が，Aから交互に，袋から玉を1個ずつ取り出すゲームを行う。ただし取り出した玉は袋の中に戻さない。Aが赤玉を取り出したらAの勝ちとし，その時点でゲームを終了する。Bが白玉を取り出したらBの勝ちとし，その時点でゲームを終了する。袋から玉がなくなったら引き分けとし，ゲームを終了する。
(1) このゲームが引き分けとなる確率を求めよ。
(2) このゲームにAが勝つ確率を求めよ。
方針
9個の玉を取り出す色順だけを考えると，赤4個の位置を選ぶ 通りが同様に確からしい。引き分けは，Aの手番すべてが白，Bの手番すべてが赤という1通りだけである。A勝利は，Aの 回目の手番で初めて赤を引く場合に分ける。その前にはAが白を 回，Bが赤を 回引いている必要があり，残りの色順は自由に数えられる。別解では，実際の逐次確率を掛けて同じ値を確認する。
解答
(1)
玉は同じ色の中では区別しないので，9回すべて取り出すときの色の並びを考える。赤玉4個の位置を選べば色順は決まるから，可能な色順は 通りであり，これらは同様に確からしい。
引き分けになるには，Aが赤を取らず，Bが白を取らないまま袋が空になる必要がある。Aの手番は1,3,5,7,9番目，Bの手番は2,4,6,8番目であるから，引き分けの色順は の1通りだけである。したがって引き分けとなる確率は である。
(2)
Aが 回目の手番で勝つ場合を数える。Aは最大5回手番をもつが，5回目までにBが4回赤を取っていると赤玉は残らないので，Aが勝てるのは の場合だけである。
Aが 回目の手番で勝つには，それ以前の 回のAの手番は白， 回のBの手番は赤であり，Aの 回目が赤でなければならない。この時点までに赤は 個，白は 個使われている。残りの 個の位置には赤が 個入ればよいから，その数は である。
したがってAが勝つ色順の数は
である。よってAが勝つ確率は である。
別解。Aが1回目，2回目，3回目，4回目の手番で勝つ確率を直接足してもよい。順に
である。これらはそれぞれ
に等しい。したがって和は であり，上と同じ結果を得る。