問題
を3より大きな奇数とし，を満たす正の奇数の組の個数を考える。ただし，たとえば，のとき，ととは異なる組とみなす。
(1) のとき，を求めよ。
(2) のとき，の中に同じ奇数を2つ以上含む組の個数を求めよ。
(3) を満たす最小のを求めよ。
出典：東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
正の奇数を 、、 とおき、正の整数 の和の問題へ変換する。 では なので、(1) は仕切りの入れ方で数える。(2) は「同じ奇数を2つ以上含む」を 、、 の和集合として包除で数える。(3) は一般の について とおき、 と を比較する。
解答
(1)
は正の奇数なので とおける。ただし は正の整数である。 のとき より となる。
正の整数 で をみたすものの個数は、 個を3つの正の部分に分ける仕切りの入れ方なので である。したがって である。
(2)
の中に同じ奇数を2つ以上含むことは、 の中に同じ整数を2つ以上含むことと同値である。
まず の場合を数える。このとき であり、 が正の整数となるには であればよい。よって 通りである。同様に、、 の場合もそれぞれ 通りである。
ただし、 の場合は3つの集合すべてに含まれる。 より の1通りである。したがって包除原理により、少なくとも2つが等しいものの個数は である。
(3)
一般の について とおく。 は3より大きい奇数なので、 は 以上の整数であり、 となる。よって である。また である。
条件 は であり、整理すると となる。 で順に調べると、 では成り立たず、 では となって初めて成り立つ。したがって最小の は であり、 である。