東北大学 2021年度後期・文理共通数学後期文系第2問・理系第2問解答・解説

問題

座標空間内の点 $A (x, y, z)$ は原点 $O$ を中心とする半径1の球面上の点とする。点 $B (1, 1, 1)$ が直線 $O A$ 上にないとき，点 $B$ から直線 $O A$ に下ろした垂線を $B P$ とし，三角形 $O B P$ を $O P$ を軸として一回転させてできる立体の体積を $V$ とする。

(1) $V$ を $x, y, z$ を用いて表せ。

(2) $V$ の最大値と，そのときに $x, y, z$ の満たす関係式を求めよ。

出典：東北大学 2021年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第2問・理系第2問

方針

$A = (x, y, z)$ は単位ベクトルであり，直線 $O A$ への点 $B (1, 1, 1)$ の射影を考える。符号つき射影の長さは $s = x + y + z$ で，垂線の長さは $B P^{2} = 3 - s^{2}$ となる。三角形 $O B P$ を $O P$ のまわりに回転すると，高さ $∣ s ∣$ ，底面半径 $B P$ の円錐になる。最大化は $u = ∣ s ∣$ とおき， $0 ≦ u ≦ 3$ で $u (3 - u^{2})$ を調べる。

解答

(1)

$A (x, y, z)$ は原点中心，半径1の球面上にあるので $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ である。したがって $O A = (x, y, z)$ は単位ベクトルである。また $O B = (1, 1, 1)$ である。

点 $B$ の直線 $O A$ への符号つき射影の長さを $s$ とすると $s = O B \cdot O A = x + y + z$ である。よって $O P = ∣ s ∣ = ∣ x + y + z ∣$ である。一方， $∣ O B ∣^{2} = 3$ なので，直角三角形 $O B P$ において $B P^{2} = O B^{2} - O P^{2} = 3 - (x + y + z)^{2}$ である。

三角形 $O B P$ を $O P$ を軸として一回転させると，高さ $∣ O P ∣ = ∣ x + y + z ∣$ ，底面半径 $B P$ の円錐ができる。したがって $V = \frac{π}{3} B P^{2} \cdot O P = \frac{π}{3} {3 - (x + y + z)^{2}} ∣ x + y + z ∣$ である。

(2)

$u = ∣ x + y + z ∣$ とおく。 $(x, y, z)$ は単位ベクトルであるから，内積の大きさの評価より $0 ≦ u ≦ 3$ である。体積は $V = \frac{π}{3} (3 - u^{2}) u$ である。

関数 $F (u) = (3 - u^{2}) u = 3 u - u^{3}$ を $0 ≦ u ≦ 3$ で考えると $F^{'} (u) = 3 - 3 u^{2} = 3 (1 - u) (1 + u)$ である。したがって $F (u)$ は $0 < u < 1$ で増加し， $1 < u < 3$ で減少する。よって最大は $u = 1$ のときで， $F (1) = 2$ である。したがって $V_{m a x} = \frac{2 π}{3}$ である。

そのときの条件は $∣ x + y + z ∣ = 1$ である。すなわち，もとの球面条件 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ のもとで $(x + y + z)^{2} = 1$ を満たす点で最大となる。

東北大学 2021年度後期・文理共通数学 後期 文系第2問・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2021年度
後期・文理共通数学後期文系第2問・理系第2問