東北大学 2021年度文理共通数学前期文系第1問・理系第1問解答・解説

問題

$a, b$ を実数とする。曲線 $y = a x^{2} + b x + 1$ が $x$ 軸の正の部分と共有点をもたないような点 $(a, b)$ の領域を図示せよ。

出典：東北大学 2021年度前期日程第2次学力試験文理共通前期文系第1問・理系第1問

方針

$g (x) = a x^{2} + b x + 1$ とおき， $x > 0$ で $g (x) = 0$ をもたない条件を調べる。 $a < 0$ では $x \to \infty$ で必ず負になるので除外する。 $a = 0$ は一次式として直接判定する。 $a > 0$ では， $b ≧ 0$ なら正の範囲で増加方向にあり根をもたず， $b < 0$ なら頂点が $x > 0$ に入るため最小値が正である条件 $b^{2} < 4 a$ を使う。境界が含まれるかどうかは，正の $x$ 軸との共有点が実際に生じるかで判断する。

解答

$g (x) = a x^{2} + b x + 1$ とおく。求める条件は，方程式 $g (x) = 0$ が $x > 0$ の解をもたないことである。

まず $a < 0$ のとき， $g (0) = 1$ である一方， $x \to \infty$ とすると $g (x) \to - \infty$ である。したがって連続性より $x > 0$ に解をもつので，この場合は不適である。

次に $a = 0$ のとき， $g (x) = b x + 1$ である。 $b < 0$ なら $x = - \frac{1}{b} > 0$ で解をもつ。 $b ≧ 0$ なら $x > 0$ で $b x + 1 > 0$ であるから解をもたない。よって $a = 0, b ≧ 0$ は条件を満たす。

最後に $a > 0$ の場合を考える。 $b ≧ 0$ なら， $x > 0$ において $g (x) = a x^{2} + b x + 1 > 0$ であるから，解をもたない。 $b < 0$ のとき，頂点の $x$ 座標は $- \frac{b}{2 a} > 0$ であり，正の範囲に入る。したがって $x > 0$ で解をもたないための条件は，頂点での最小値が正であること，すなわち $1 - \frac{b ^{2}}{4 a} > 0$ である。これは $b^{2} < 4 a$ と同値である。

以上より，求める領域は $a = 0, b ≧ 0$ および $a > 0, b ≧ 0$ および $a > 0, b < 0, b^{2} < 4 a$ を合わせた領域である。すなわち， $(a, b)$ 平面では， $a$ 軸の右側で $b ≧ 0$ の部分を境界 $a = 0$ 上の $b ≧ 0$ も含めて取り，さらに $b < 0$ では放物線 $a = \frac{b ^{2}}{4}$ の右側だけを取る。ただし $b < 0$ 側の放物線上は重解をもち共有点が生じるので含まない。

東北大学 2021年度文理共通数学 前期 文系第1問・理系第1問

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