問題
1辺の長さが1の正四面体を考える。
(1) 辺上を動く点と辺上を動く点に対して，線分の長さが最小となるとき，ベクトルを，，で表せ。
(2) 点がの内部および辺上を動くとする。(1)で求めたとのなす角をとする。内積が最大となるようなのとりうる値の範囲を求めよ。
出典：東北大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文理共通 後期 文系第3問・理系第3問
方針
正四面体なので、 の長さはすべて1で、相異なる2つの内積は である。点 と を辺上のパラメータで表し、線分 が最短となる条件を、 が辺 と辺 の方向に垂直であることとして立てる。(2)は を三角形 の重心座標で表し、内積が最大になるのは が辺 上にあるときだと分かるので、そのときの の範囲から の範囲を出す。
解答
(1)
とおく。正四面体の1辺の長さは1なので であり、相異なる2つのベクトルのなす角は だから である。 は辺 上にあるから とおける。また は辺 上にあるから とおける。よって である。
線分 が最短となるとき、 は辺 の方向 と辺 の方向 の両方に垂直である。したがって
である。計算すると となるので である。したがって
である。
(2)
は三角形 の内部または辺上を動くので
とおける。(1)で求めたベクトルを とおく。このとき
である。したがって内積が最大となるのは のとき、すなわち が辺 上にあるときであり、その最大値は である。
また
だから である。 が辺 上を動くとき、 は辺の中点で最小、端点で最大となる。中点では
なので である。
内積が最大となる場合に
である。したがって である。