問題
を1ではない正の実数とし，を正の整数とする。次の不等式を考える。
(1) のとき，この不等式を満たす整数をすべて求めよ。
(2) この不等式を満たす整数が存在するためのについての必要十分条件を求めよ。
出典：東北大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 前期 文系第2問・理系第2問
方針
真数条件からまず を確認し、 とおいて の整数問題に直す。底 が1より大きいか小さいかで対数関数の増減が逆になるため、 では 、 では を調べる。(1)は で列挙し、(2)は両方の場合について整数 が存在する条件を端の値で判定する。
解答
真数条件より であるから である。 は整数なので、 とおくと である。また である。
(1)
のとき、 である。 のとき、対数関数 は増加関数なので は と同値である。両辺は正なので、さらに すなわち である。これを で調べると、 が条件を満たす。したがって である。 のとき、対数関数 は減少関数なので不等号の向きが逆になり、 すなわち である。これを満たすのは であるから である。
(2)
一般に は を動く。したがって、そもそも候補が存在するには が必要である。 のときは を満たす が存在すればよい。 では候補は だけで、 となり条件を満たさない。 では と取ると であるから条件を満たす。 のときは を満たす が存在すればよい。 では に対して なので条件を満たさない。 では と取れば であるから条件を満たす。
以上より、どちらの場合も整数解が存在するための必要十分条件は である。