東北大学 2017年度後期・文理共通数学後期文系第4問・理系第5問解答・解説

問題

$n$ を負でない整数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $2 x + 2 y + z = n$ を満たす負でない整数 $x$ ， $y$ ， $z$ の組の総数を， $n = 4$ と $n = 5$ のそれぞれの場合に求めよ。

(2) $2 x + 2 y + z = n$ を満たす負でない整数 $x$ ， $y$ ， $z$ の組の総数を， $n$ を用いて表せ。

(3) $2 x + 2 y + z ≦ n$ を満たす負でない整数 $x$ ， $y$ ， $z$ の組の総数を， $n$ を用いて表せ。

出典：東北大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第4問・理系第5問

方針

$x + y = r$ とおくと，等式 $2 x + 2 y + z = n$ では $z = n - 2 r$ が決まり， $(x, y)$ の個数は $r + 1$ 通りである。したがって $r$ の範囲を $0 ≦ r ≦ ⌊ n /2 ⌋$ として和を取る。(3)は(2)で得た等式の場合の個数を $0$ から $n$ まで足し上げ， $n$ の偶奇で整理する。別解として，不等式に余りの変数を入れて $2 x + 2 y + z + w = n$ を直接数える方法もある。

解答

(1)

$x + y = r$ とおくと，等式は $2 r + z = n$ となる。 $r$ が決まれば $z = n - 2 r$ であり， $(x, y)$ は $(x, y) = (0, r), (1, r - 1), \dots, (r, 0)$ の $r + 1$ 通りである。 $n = 4$ のときは $r = 0, 1, 2$ であるから $1 + 2 + 3 = 6$ 通りである。 $n = 5$ のときも $r = 0, 1, 2$ であるから $1 + 2 + 3 = 6$ 通りである。

(2)

$m = ⌊ n /2 ⌋$ とおくと， $r$ は $0, 1, 2, \dots, m$ を動く。したがって総数は $\sum_{r = 0}^{m} (r + 1) = \frac{( m + 1 ) ( m + 2 )}{2}$ である。すなわち， $n = 2 m$ または $n = 2 m + 1$ のとき，いずれも $\frac{( m + 1 ) ( m + 2 )}{2}$ 通りである。

(3)

(2)の結果を，右辺が $0, 1, 2, \dots, n$ の場合について足し上げる。 $n = 2 m$ のとき，右辺 $2 r$ の場合と $2 r + 1$ の場合の個数は同じ $\frac{( r + 1 ) ( r + 2 )}{2}$ である。よって総数は

r = 0 \sum m \frac{( r + 1 ) ( r + 2 )}{2} + r = 0 \sum m - 1 \frac{( r + 1 ) ( r + 2 )}{2}

である。ここで $\sum_{r = 0}^{m} \frac{( r + 1 ) ( r + 2 )}{2} = \frac{( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 )}{6}$ を用いると，総数は $\frac{( m + 1 ) ( m + 2 ) ( 2 m + 3 )}{6}$ である。 $n = 2 m + 1$ のときは， $0, 1$ ， $2, 3$ ， $\dots$ ， $2 m, 2 m + 1$ の各組で個数が等しいので $2 \sum_{r = 0}^{m} \frac{( r + 1 ) ( r + 2 )}{2} = \frac{( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 )}{3}$ である。

別解。 $2 x + 2 y + z ≦ n$ に対して，余りを $w ≧ 0$ として $2 x + 2 y + z + w = n$ とおく。 $x + y = r$ を固定すると $(x, y)$ は $r + 1$ 通り， $z + w = n - 2 r$ を満たす $(z, w)$ は $n - 2 r + 1$ 通りである。したがって $\sum_{r = 0}^{⌊ n /2 ⌋} (r + 1) (n - 2 r + 1)$ を計算しても同じ偶奇別の式が得られる。

東北大学 2017年度後期・文理共通数学 後期 文系第4問・理系第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2017年度
後期・文理共通数学後期文系第4問・理系第5問