問題
鋭角三角形において，頂点から各対辺に垂線を下ろす。これらの垂線は垂心で交わる。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 四角形とが円に内接することを示せ。
(2) であることを示せ。
出典：東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 前期 文系第4問・理系第1問
方針
(1)は垂線からできる直角を同一円周上の条件に結びつける。特に，2点から同じ線分を直角に見ること，2点から同じ線分を直角に見ることを使う。(2)はを原点，を軸，を軸にとり，垂線の足を直線の交点として求める。直線の傾きが互いに反対になることを示せば，を対称軸としてが従う。
解答
(1)
で，は上にあるから である。またで，は上にあるから である。したがってはいずれも線分を直角に見込む点である。よって となり，四角形は円に内接する。
次に，は垂心なのでは上にあり，は上にある。したがって であり， である。同様には上，は上にあるから である。よってはいずれも線分を直角に見込む点であり，四角形も円に内接する。
(2)
を原点，を軸，を軸にとる。鋭角三角形なので とおける。
まずを求める。直線の方向ベクトルはである。とおくと，より である。すなわち だから である。したがって となる。
同様に，直線上の点をとおく。より であるから を得る。よって である。 は原点であるから，直線の傾きは
である。また直線の傾きは
である。したがってとは軸，すなわちに関して対称である。よって である。