問題
を実数とする。座標平面において、3点，，を頂点とする三角形を考える。
(1) 三角形が鋭角三角形となるようなの範囲を求めよ。
(2) 三角形が垂心の座標を求めよ。
(3) 辺の中点をそれぞれとおく。が(1)で求めた範囲を動くとき、三角形を線分で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と、そのときのの値を求めよ。
方針
(1)は各頂点で作る2本の辺ベクトルの内積が正であることを調べる。(2)は が水平なので、垂心の 座標がすぐ になる。もう1本の高さは、 の傾きの逆数を使って求める。(3)では中点三角形で折ると、4つの面がすべて合同な四面体になることに注目する。向かい合う辺が等しい四面体として座標を置き、体積を の式に直して最大化する。
解答
(1)
各頂点での内積を調べる。点 では であるから であり、角 は常に鋭角である。
点 では なので である。したがって角 が鋭角である条件は である。
点 では
である。よって であり、角 が鋭角である条件は である。 も合わせて、求める範囲は である。
(2)
垂心を とする。 は 軸上の水平な線分であるから、 から に下ろす垂線は である。したがって の 座標は である。
次に、 の傾きは である。よって を通り に垂直な直線の傾きは であり、その方程式は である。ここに を代入すると となる。したがって である。
(3)
中点を結ぶ3本の線分で折ると、中央の三角形 を底面とし、3つの外側の小三角形が折り上がって1つの頂点を作る。4つの面はいずれも、もとの三角形 を相似比 にした三角形である。
したがって折り上がってできる四面体では、向かい合う辺の長さがそれぞれ等しく、その3種類の長さは である。実際、，， であるから、その半分の長さが現れる。
向かい合う辺が等しい四面体は、適当な正の数 を用いて を4頂点にもつ形に置ける。このとき向かい合う辺の長さを上の順に対応させると となる。 ではいずれも正である。
この四面体の体積 は、1つの頂点から出る3本のベクトルの行列式を用いて である。よって
である。
ここで とおくと、 より であり、 である。これは のとき最大となり、その最大値は である。したがって である。
別解。体積の最大化だけを見るなら、 が得られた後は二次関数として処理すればよい。 は和が一定の2数 と の積なので、両者が等しい で最大になる。