問題
縦横の長さの比がの長方形の板がある。この板を両面とも下図のように線で区切り，できた6つの正方形のそれぞれに赤または白の色を塗ることにする。塗り終えた板において回転や裏返しで同じ塗り方になるものは区別しないとするとき，塗り方は何通りあるか求めよ。ただし，各正方形には1つの色を塗るものとする。
% 図は省略
方針
片面に3つの正方形が横に並び、両面で6つの正方形がある。塗り方を区別しない操作は、何もしない操作、左右反転、表裏交換、表裏交換と左右反転の合成の4つである。各操作で変わらない塗り方の数を数え、同じ塗り方のまとまりごとに平均する。左右反転では各面の両端が対応し中央は固定、表裏交換では表と裏の対応する位置が同色、合成では表の左端と裏の右端のように対応する位置が同色になる。
解答
片面の3つの正方形を左から とし、裏面の対応する3つを と表す。合計6つの正方形を赤または白で塗るので、何も同一視しなければ塗り方は 通りである。
この板について、同じ塗り方とみなす操作は次の4つである。
である。それぞれの操作で変わらない塗り方を数える。
何もしない操作。
すべての塗り方が固定されるので 通りである。
左右反転。
表面では左端と右端が入れ替わり、中央はそのままである。裏面でも同じである。したがって、表面は「左端・右端の共通色」と「中央の色」の2つを決めればよく、裏面も同様である。よって固定される塗り方は 通りである。
表裏交換。
表面の各位置と裏面の対応する位置が入れ替わる。固定されるためには、対応する表裏の正方形が同じ色でなければならない。3組それぞれの色を決めればよいので 通りである。
表裏交換と左右反転の合成。
この操作では、表面の左端は裏面の右端に対応し、表面の中央は裏面の中央に対応し、表面の右端は裏面の左端に対応する。したがって対応する3組の色を決めればよいので、固定される塗り方は 通りである。
ここで、固定される塗り方の数を平均してよい理由を確認しておく。回転や裏返しで同じになる1つのまとまりに含まれる塗り方が 通りあるとする。この 通りのそれぞれは、4つの操作のうち 個の操作で固定されるので、そのまとまりは固定数の合計に だけ寄与する。したがって固定数の合計を4で割ると、まとまりの個数が得られる。
以上より、同一視した塗り方の数は である。よって である。
別解。
先に表裏交換だけを同一視する。1つの面の塗り方は3つの正方形を赤または白で塗るので 通りある。表と裏の順序を区別しない2面の組は、同じ塗り方を2面に置く場合が8通り、異なる2つの塗り方を選ぶ場合が 通りであるから、合計 通りである。
次に、この36通りを左右反転で同一視する。1面だけで左右反転しても変わらない塗り方は、左端と右端が同色で、中央は自由だから 通りである。この左右対称な塗り方だけで2面の組を作ると 通りで、これらは左右反転しても変わらない。
一方、左右対称でない1面の塗り方は4通りあり、左右反転で2組のペアになる。そのペアの2つを表裏に置いた組は、左右反転後も同じ組に戻るので 通りある。したがって、左右反転で変わらない表裏の組は 通りである。
残りの 通りは、左右反転で2通りずつ同一視される。よって最終的な塗り方は 通りであり、同じく である。