問題
のそれぞれの数字が書かれた玉が2個ずつ，合計10個ある。
(1) 10個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて2個の玉を取り出す。書かれている2つの数字の積が10となる確率を求めよ。
(2) 10個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて4個の玉を取り出す。書かれている4つの数字の積が100となる確率を求めよ。
(3) 10個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて6個の玉を順に取り出す。1個目から3個目の玉に書かれている3つの数字の積と，4個目から6個目の玉に書かれている3つの数字の積が等しい確率を求めよ。
方針
(1)(2) は、同じ数字が2個ずつあることを区別した玉の選び方として数える。全事象はそれぞれ 、 で、積が指定値になる数字の組を先に列挙し、その数字の玉を選ぶ通り数を掛ける。(3) は6個を順に取り出すので順序付きで数える。前半3個の数字の積と後半3個の数字の積を一致させるため、3個の数字の組を積ごとに分類し、前半に使った玉を除いた後半の選び方まで数える。最後に全順列数 で割る。
解答
(1)
10個の玉は、同じ数字が書かれていても別の玉として扱う。2個を取り出す全体の場合の数は である。
2つの数字の積が10になるには、数字の組が でなければならない。数字2の玉は2個、数字5の玉も2個あるので、この取り出し方は 通りである。したがって求める確率は である。
(2)
4個を取り出す全体の場合の数は である。
4つの数字の積が100になる組を、使える数字が で各2個までであることに注意して列挙する。素因数で見ると である。数字3は使えない。また5は2個必要である。残りの積が4になるには のどちらかである。したがって可能な数字の組は または である。
前者では、数字1の玉の選び方が2通り、数字4の玉の選び方が2通り、数字5の玉は2個とも選ぶので 通りである。後者では、数字2の玉2個と数字5の玉2個をすべて選ぶので1通りである。よって有利な場合の数は であり、確率は である。
(3)
6個を順に取り出すので、全体の場合の数は である。
前半3個と後半3個の積が同じになる場合を、共通の積ごとに数える。まず3個の数字の積として、前半と後半に同時に作れるものを調べる。各数字の玉は2個ずつしかないため、同じ数字を前半と後半で合わせて3個以上使う組は不可能である。この条件まで入れて整理すると、可能な積は である。
積が のときは、前半3個の順序と後半3個の順序、および同じ数字の玉の選択を合わせて、それぞれ 通りである。積が のときは、数字の組の型が多くなるため、それぞれ 通りである。例えば積12なら と の型があり、前半で使った玉を除いて後半を選ぶ必要がある。このように、前半の型と後半の型を独立に選べない点が数え上げの注意点である。
したがって有利な場合の数は である。よって求める確率は である。
別解。(3) は、前半3個の取り出し方を順序付きで固定し、その積と、残った7個から後半3個を順に取って作れる積を照合してもよい。前半の数字の多重集合ごとに残りの玉の個数が変わるため、単に「同じ積の3個組の数を2乗する」ことはできない。前半の型を 、 などに分け、残りの玉で同じ積を作る後半の順列数を足し上げると、同じく有利な場合の数は になる。