問題
袋の中に1，2，3，4，5の番号が1つずつ書かれた5つの玉が入っている。この中から無作為に1個の玉を取り出し，玉に書かれている数字を記録したのち袋に戻すという操作を行う。その操作を繰り返し，記録された数字の和が3の倍数になった時点で終了する。ただし，1回目で3の倍数が出た場合は，その時点で終了とする。回目の操作で終了する確率をとする。
(1) ，を求めよ。
(2) のとき，をの式で表せ。
出典：東北大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文理共通 後期 文系第3問・理系第4問
方針
記録された和そのものではなく、 で割った余りだけを状態として見る。1回目で終了する場合を除くと、未終了の余りは または だけである。どちらの余りにいても、次に終了する確率は 、終了しない確率は で一定になるため、 回目で初めて終了する確率を等比的に求める。
解答
玉に書かれた数を で割った余りで分類する。余り は の1個、余り は の2個、余り は の2個である。したがって各回で余り が出る確率はそれぞれ である。
(1)
1回目で終了するのは、1回目に余り 、すなわち数字 が出た場合である。よって である。
2回目で終了するには、1回目では終了せず、2回目で余りの和が になればよい。1回目の余りが なら2回目は余り 、1回目の余りが なら2回目は余り である。したがって である。
(2)
1回目で終了しない確率は である。終了していないとき、現在の和の余りは または である。余りが のときは次に余り が出ると終了し、余りが のときは次に余り が出ると終了する。どちらの場合も終了する確率は であり、終了しない確率は である。
したがって のとき、1回目で終了せず、2回目から 回目までは終了せず、 回目で終了する確率は である。整理して を得る。