東北大学 2013年度文理共通数学前期文系・理系第2問解答・解説

問題

四面体 $O A B C$ において， $O A = O B = O C = 1$ とする。
$∠ A O B = 60^{\circ}$ ， $∠ B O C = 45^{\circ}$ ， $∠ C O A = 45^{\circ}$ とし， $a = O A$ ， $b = O B$ ， $c = O C$ とおく。点 $C$ から面 $O A B$ に垂線を引き，その交点を $H$ とする。

(1) ベクトル $O H$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。

(2) $C H$ の長さを求めよ。

(3) 四面体 $O A B C$ の体積を求めよ。

出典：東北大学 2013年度前期日程第2次学力試験文理共通前期文系・理系第2問

方針

垂線の足 $H$ は面 $O A B$ 上にあるので、 $O H = x a + y b$ とおく。 $C H$ が面 $O A B$ に垂直であることを、 $a$ と $b$ の両方との内積が $0$ である条件に直す。高さ $C H$ は $O C^{2} = O H^{2} + C H^{2}$ から求め、体積は底面 $△ O A B$ と高さで計算する。

解答

(1)

$O H$ は面 $O A B$ 上のベクトルであるから、 $O H = x a + y b$ とおける。与えられた角度から

a \cdot b = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}, b \cdot c = c \cdot a = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

である。 $C H$ が面 $O A B$ に垂直であることは、

(c - O H) \cdot a = 0, (c - O H) \cdot b = 0

と表せる。したがって $\frac{2}{2} - x - \frac{1}{2} y = 0, \frac{2}{2} - \frac{1}{2} x - y = 0$ である。両式を解くと $x = y = \frac{2}{3}$ を得る。よって

O H = \frac{2}{3} a + \frac{2}{3} b

である。

(2)

$O H^{2}$ を内積で計算すると、

O H^{2} = \frac{2}{3} a + \frac{2}{3} b^{2} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} + 2 \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}

である。 $C H ⊥ O H$ であり $O C = 1$ だから、直角三角形 $O C H$ において $C H^{2} = O C^{2} - O H^{2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ である。したがって $C H = \frac{3}{3}$ である。

(3)

底面 $△ O A B$ の面積は

\frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

である。高さは (2) の $C H$ なので、四面体 $O A B C$ の体積は $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3} = \frac{1}{12}$ である。

東北大学 2013年度文理共通数学 前期 文系・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2013年度
文理共通数学前期文系・理系第2問