問題
以下の問いに答えよ。
(1) 実数，がを満たすとき，のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 実数，がを満たすとき，のとりうる値の範囲を求めよ。
出典：東北大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文理共通 後期 文系・理系第1問
方針
指数部分を正の変数に置き換える。(1)は 、 として、条件を中心 、半径2の円板に直す。求める の最大は円の中心から 方向へ進んだ点でとり、最小側は という開いた条件のため下限が達成されないことに注意する。(2)は として の最大化に帰着し、 を微分する。
解答
(1)
とおく。すると であり、条件は である。平方完成すると となる。求める量は である。
円板の中心は 、半径は2である。 は方向 に進むほど大きくなるから、最大値は中心から 方向へ距離2だけ進んだ点でとる。そのとき である。
最小側については、中心から 方向へ進んだ点は となり、 の条件に合わない。したがって境界 に近づけて考える。 とすると より、最小側の は である。ただし実際には なので は達成できない。よって下限は であるが、最小値としては取れない。
以上より である。
(2)
とおく。すると であり、条件は すなわち である。右辺が正でなければならないので である。
求める は である。 は増加関数なので、 の最大値を求めればよい。条件から である。微分すると であるから、 で最大となるのは のときである。このとき であり、等号は のとき実現できる。
一方、 はいくらでも0に近づけられるので、 も0に近づき、 に下限はない。したがって であり、下には限りがない。