問題
を2以上の自然数とする．は，を満たす実数とする．はを任意に並べ替えたものとするとき，
が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
出典：東北大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文理共通 後期 文系・理系第1問
方針
並べ替え に，大きい順になっていない隣接または2項の逆転があれば，その2つを入れ替えることで2乗和が小さくなることを示す。これを繰り返すと の順に到達し，そのときが最小である。等号条件は， も もすべて厳密に減少しているため，1回でも逆転交換が必要なら和が厳密に減ることから判定する。
解答
が の並べ替えであるとする。もし で となる組があれば， と は大きい順に並んでいない。
この2つだけを入れ替えたときの2乗和の変化を調べる。入れ替える前の該当部分は であり，入れ替えた後は である。差を取ると ここで より であり，また仮定より である。したがって である。つまり，このような逆転を入れ替えると，2乗和は厳密に小さくなる。
この操作を繰り返すと， は大きい順に並ぶ。 であり， は の並べ替えなので，最終的には となる。この過程で和は増えず，逆転があれば厳密に小さくなる。したがって が成り立つ。
等号について考える。もし が と同じ順でなければ，ある について となる逆転が存在し，上の交換で2乗和が厳密に小さくなる。したがって等号は成り立たない。
よって等号が成り立つのは，はじめから であるとき，かつそのときに限られる。