東北大学 2010年度
文理共通数学 前期 文系・理系第4問

解答

(1) 位置ベクトルを用いて考える。任意の点 $P$ に対して

である。同様に

である。したがって条件は

と同値であり，点 $P$ には依存しない。

ここで $M,N$ はそれぞれ $AB,CD$ の中点だから

である。よって上の条件は $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}$ すなわち $M=N$ を意味する。

しかし，$M=N$ なら $A=M+\vec{u},B=M-\vec{u},C=M+\vec{v},D=M-\vec{v}$ と書けるので，4点 $A,B,C,D$ は $M$ を通り $\vec{u},\vec{v}$ で張られる同一平面上にある。これは四面体であることに反する。したがって $\boxed{\text{条件を満たす点 }P\text{ は存在しない}}$ である。

(2) 中点 $M,N$ を用いると

である。したがって条件

は $2QM=2QN$ すなわち $QM=QN$ と同値である。

よって点 $Q$ の軌跡は，2点 $M,N$ から等距離にある点全体である。したがって $\boxed{\text{線分 }MN\text{ の垂直二等分平面}}$ である。

(3) 中点公式を使う。$M$ は $AB$ の中点なので $R{A}^2+R{B}^2=2R{M}^2+\frac{1}{2}A{B}^2$ である。同様に $R{C}^2+R{D}^2=2R{N}^2+\frac{1}{2}C{D}^2$ である。与えられた条件から $2R{M}^2+\frac{1}{2}A{B}^2=2R{N}^2+\frac{1}{2}C{D}^2$ となるので $R{M}^2-R{N}^2=\frac{C{D}^2-A{B}^2}{4}$ である。

ここで $\overrightarrow{MR}=\vec{r},\overrightarrow{MN}=\vec{n}$ とおくと $R{M}^2=|\vec{r}{|}^2,R{N}^2=|\vec{r}-\vec{n}{|}^2$ である。したがって

すなわち $2\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MR}-M{N}^2=\frac{C{D}^2-A{B}^2}{4}$ であるから

右辺は四面体によって決まる定数であり，$R$ のとり方に依存しない。よって $\boxed{\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MR}\text{ は一定}}$ である。

(4) (2) の軌跡を式で表す。点 $X$ が $QM=QN$ に対応する平面上にあることは $X{M}^2=X{N}^2$ と同値である。$\overrightarrow{MX}=\vec{x}$，$\overrightarrow{MN}=\vec{n}$ とおくと $|\vec{x}{|}^2=|\vec{x}-\vec{n}{|}^2$ より $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MX}=\frac{M{N}^2}{2}$ である。

一方，(3) の軌跡は

で表される平面である。四面体では $M\ne N$ なので，この2つは同じ法線方向をもつ平行な平面である。したがって両者が一致するための必要十分条件は，右辺の定数が等しいこと，すなわち $\frac{C{D}^2-A{B}^2}{8}=0$ である。よって $A{B}^2=C{D}^2$ であり，長さは正だから $\boxed{|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|}$ が必要十分条件である。