問題
を直角とする直角三角形に対して，の二等分線と線分の交点をとする．また，線分，，の長さはそれぞれとする．とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) を求めよ．
(2) を示せ．ただし，，を用いてもよい．
出典：東北大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第2問
方針
， とおき，角の二等分線定理から を得る。直角三角形 ABC に三平方の定理を使うと c が決まり，BC/AB から が出る。(2)では を確認したうえで， と を比較する。正弦がこの範囲で増加することを使うため，角の範囲確認を先に置く。
解答
(1)
， とおく。D は角 A の二等分線と BC の交点であるから，角の二等分線定理より である。すなわち なので である。
三角形 ABC は C を直角とし，， である。したがって三平方の定理より である。整理すると となり， より を得る。よって である。したがって である。
(2)
三角形 ABC は直角三角形であるから である。また である。与えられた近似値を用いると であり，一方 である。したがって である。正弦は で増加するので が従う。