問題
4人乗りと5人乗りの自動車が1台ずつあり，a，b，c，d，e，f，gの7人が同じ目的地に出かける．誰が運転するか，どの席に座るかは区別しないものとして，以下の問いに答えよ．
(1) 全員が運転でき，かつ全員が2台の自動車に分乗するものとする．分乗の組合せは何通りあるか．
(2) 7人のうち運転できるのはa，b，cの3人だけで，各車に少なくとも1人は運転できる人が乗ることにする．全員が2台の自動車に分乗するとき，分乗の組合せは何通りあるか．
(3) 全員が運転できるとする．歩いて行く人がいても，誰も乗らない自動車があってもよいとするとき，分乗の組合せは何通りあるか．
方針
4人乗りの車に乗る人数を先に決めると、座席や運転者の区別をしない「集合の分け方」だけを数えればよい。(1)は全員乗車なので4人乗りの人数は2,3,4人に限られる。(2)はその数え上げから、運転できる3人が一方の車に偏ってしまう場合を除く。(3)は徒歩も空車も許されるので、各人を「4人乗り・5人乗り・徒歩」の3種類へ割り振り、最後に定員超過だけを取り除く。重複を避けるため、常に4人乗りの車に乗る集合を基準に数える。
解答
(1)
4人乗りの車に乗る人の集合を決めれば、残りは5人乗りの車に乗る。座席の位置や運転者は区別しないので、同じ集合分けを二度数えないように、4人乗りの人数だけで場合分けする。
全員が2台に分乗するから、4人乗りの車に乗る人数を とすると、5人乗りの車には 人が乗る。定員条件より であるから、 である。したがって分乗の組合せは
通りである。
(2)
まず(1)の91通りを考え、その中から各車に少なくとも1人は運転できる人が乗るという条件に反するものを除く。運転できる人を 、運転できない人を4人とする。
4人乗りの車に運転できる人が1人もいない場合、4人乗りの人数は2,3,4人なので
通りである。このとき5人乗りには が全員乗るので、5人乗り側の条件は満たしているが、4人乗り側が条件に反する。
反対に、5人乗りの車に運転できる人が1人もいない場合は、 の3人全員が4人乗りの車に乗る。4人乗りの人数は3人または4人であり、 通りである。これら2種類は同時には起こらないから、求める数は 通りである。
(3)
徒歩も空車も許されるので、4人乗りの車に 人、5人乗りの車に 人乗るとする。定員条件は である。まず4人乗りに乗る 人を選び、残り 人から5人乗りに乗る 人を選ぶと、徒歩の人は自動的に決まる。よって
通りである。これを計算すると 通りである。
別解。各人に対し、いったん「4人乗りに乗る」「5人乗りに乗る」「徒歩」の3通りを自由に割り当てると 通りである。ここから定員を超える割り当てを除く。4人乗りが5人以上になる場合は
通り、5人乗りが6人以上になる場合は 通りである。両方の定員を同時に超えることは、合計人数が7人なので起こらない。したがって 通りである。