東北大学 2003年度
後期・文理共通数学 文系第1問・理系第3問

解答

(1)

条件は $s^2+t^2=1,(u-1{)}^2+v^2=1,(u-s{)}^2+(v-t{)}^2=1$ である。後の2式を引くと $(u-1{)}^2+v^2-(u-s{)}^2-(v-t{)}^2=0$ であり、$s^2+t^2=1$ を用いて整理すると $u(1-s)=vt$ を得る。

まず $t\ne 0$ とする。このとき $v=\frac{u(1-s)}{t}$ であるから、$(u-1{)}^2+v^2=1$ に代入して $(u-1{)}^2+\frac{u^2(1-s{)}^2}{t^2}=1$ を得る。両辺に $t^2$ を掛けると $t^2(u^2-2u+1)+u^2(1-s{)}^2=t^2$ である。$t^2=1-s^2$ より $u^2\{t^2+(1-s{)}^2\}-2u{t}^2=0$ $2(1-s)u^2-2(1-s)(1+s)u=0$ となる。いま $s\ne 1$ だから $u=0\text{または}u=1+s$ である。対応する $v$ はそれぞれ $v=0,v=t$ である。

次に $t=0$ とする。$s^2+t^2=1$ かつ $s\ne 1$ より $s=-1$ であり、式 $u(1-s)=vt$ から $u=0$ となる。さらに $(u-1{)}^2+v^2=1$ より $v=0$ である。これは上の2つの候補が一致する場合である。

したがって、$s\ne 1$ のとき $\boxed{(u,v)=(0,0)\text{または}(u,v)=(1+s,t)}$ である。

(2)

線分 $PQ$ の中点を $(X,Y)$ とする。

(1)の第1の枝 $Q=(0,0)$ では $(X,Y)=\left(\frac{s}{2},\frac{t}{2}\right)$ である。$s^2+t^2=1$ より $X^2+Y^2=\frac{1}{4}$ を得る。

第2の枝 $Q=(1+s,t)$ では $(X,Y)=\left(s+\frac{1}{2},t\right)$ であるから ${\left(X-\frac{1}{2}\right)}^2+Y^2=1$ を得る。

ただし、(1)では $s\ne 1$ としていたので、$P=(1,0)$ の場合を別に調べる必要がある。このとき $P$ は点 $(1,0)$ と一致するから、条件 $Q$ が点 $(1,0)$ を中心とする半径1の円周上にあることと $PQ=1$ は同じ条件である。したがって $Q=(u,v)$ は $(u-1{)}^2+v^2=1$ を満たす円周上をすべて動ける。このとき中点は $(X,Y)=\left(\frac{1+u}{2},\frac{v}{2}\right)$ であるから ${\left(X-1\right)}^2+Y^2=\frac{1}{4}$ を得る。

よって求める軌跡は、次の3つの円周の和集合である。

図示すると、中心が $(0,0)$、$(1/2,0)$、$(1,0)$ にあり、半径がそれぞれ $1/2,1,1/2$ の3円周である。

別解。$s\ne 1$ のとき、点 $(1,0)$ を中心とする半径1の円と、点 $P$ を中心とする半径1の円は、すでに原点 $O$ を共有している。2円のもう一つの交点として $(1+s,t)$ を代入すると、点 $(1,0)$ からの距離は $\{(1+s)-1{\}}^2+t^2=s^2+t^2=1$ であり、点 $P(s,t)$ からの距離も $\{(1+s)-s{\}}^2+(t-t{)}^2=1$ である。したがって $Q=O$ と $Q=(1+s,t)$ が2つの交点であり、同じ軌跡が得られる。