問題
2つの関数を
とする．
(1) をの関数で表せ．
(2) をの関数で表せ．
(3) のとき，の最大値，最小値とそのときのの値を求めよ．
出典：東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第2問
方針
と置き、 で整理する。すると となり、3倍角の公式から の3次式になる。 も で書き直して に整理する。最後は から を求め、3次関数の端点と停留点を調べる。
解答
(1)
である。ここで とおくと である。また だから である。
3倍角の公式より であり、 を代入して
である。したがって である。
(2)
同じく とおく。まず である。また であり、 だから である。さらに である。
したがって である。 と、
を代入すると
(3)
のとき、 である。この範囲で は を動く。 とおくと である。したがって候補は端点 と停留点 である。それぞれ である。
よって最大値は であり、これは のとき、すなわち より で生じる。
最小値は であり、これは のときである。すなわち だから となり、 で生じる。