問題
赤箱，白箱，黒箱に，赤玉，白玉，黒玉がそれぞれ，下の表の個数だけ入っている．
% 図は省略
これらの箱の1つから1個の玉を取り出し，同じ箱にもどすという試行を，以下の規則にしたがって繰り返す．ただし，各箱から玉を取り出すとき，箱の中のどの玉が取り出されるのも，同様に確からしいものとする．
1回目は白箱から取り出す．2回目以降は，前回に取り出された玉と同じ色の箱から取り出す．3回連続して赤玉が取り出されたら，試行を終了する．
(1) ちょうど4回で試行が終了する確率を求めよ．
(2) 1回目が赤玉であり，かつちょうど5回で試行が終了する確率を求めよ．
(3) 1回目が赤玉であり，かつ試行が6回以上続く確率を求めよ．
方針
前回出た玉の色が次に使う箱を決めるので、色の列を追う。必要な赤玉確率は、赤箱で 、白箱で 、黒箱で である。終了条件は「初めて赤玉が3回連続する」ことなので、ちょうど4回・5回で終わる列を連続赤の位置で列挙する。(3)は1回目が赤である確率から、5回目までに終了する確率を引く。
解答
表から必要な確率を整理する。赤箱、白箱、黒箱から赤玉を取り出す確率はそれぞれ である。また、白箱から白玉を取り出す確率は 、白箱から黒玉を取り出す確率は であり、赤箱から白玉を取り出す確率は 、赤箱から黒玉を取り出す確率は である。
(1)
ちょうど4回で終了するには、2回目、3回目、4回目が赤玉であり、1回目は赤玉でない必要がある。1回目は白箱から取り出すので、1回目が白玉の場合と黒玉の場合に分ける。
1回目が白玉なら、2回目は白箱から赤玉、3回目と4回目は赤箱から赤玉を取り出す。確率は である。1回目が黒玉なら、2回目は黒箱から赤玉、3回目と4回目は赤箱から赤玉を取り出す。確率は である。したがって
である。
(2)
1回目が赤玉で、ちょうど5回で終了するには、2回目は赤玉でなく、3回目、4回目、5回目が赤玉でなければならない。1回目が赤玉である確率は であり、2回目は赤箱から取り出す。
2回目が白玉なら、3回目は白箱から赤玉、4回目と5回目は赤箱から赤玉を取り出す。2回目が黒玉なら、3回目は黒箱から赤玉、4回目と5回目は赤箱から赤玉を取り出す。よって
である。
(3)
求めるのは、1回目が赤玉で、かつ5回目までに終了しない確率である。まず1回目が赤玉である確率は である。
この条件のもとで5回目までに終了する場合を引く。1回目が赤玉のとき、3回目で終了する確率は である。4回目で初めて終了することはできない。なぜなら、4回目で終了するには2回目から4回目までが赤玉である必要があるが、そのとき1回目も赤玉なら3回目で既に終了しているからである。5回目で終了する確率は(2)で求めた である。
したがって求める確率は である。