東北大学 2002年度文理共通数学文系第1問・理系第1問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ は実数であり，方程式 $x^{4} + (a + 2) x^{3} - (2 a + 2) x^{2} + (b + 1) x + a^{3} = 0$ が解 $x = 1 + i$ をもつとする．ただし， $i = - 1$ とする．このとき， $a$ ， $b$ を求めよ．また，このときの方程式の他の解も求めよ．

出典：東北大学 2002年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第1問

方針

実係数の方程式なので、非実数解 $1 + i$ をもつなら共役な $1 - i$ も解になる。まず $x = 1 + i$ を代入して実部と虚部を比較し、 $a, b$ を決める。その後、 $(x - (1 + i)) (x - (1 - i)) = x^{2} - 2 x + 2$ で割って残りの2次方程式を解く。

解答

$x = 1 + i$ を代入する。まず $(1 + i)^{2} = 2 i, (1 + i)^{3} = - 2 + 2 i, (1 + i)^{4} = - 4$ である。したがって

0 = (1 + i)^{4} + (a + 2) (1 + i)^{3} - (2 a + 2) (1 + i)^{2} + (b + 1) (1 + i) + a^{3} = {a^{3} - 2 a + b - 7} + {- 2 a + b + 1} i

である。実部と虚部がともに0であるから

{a^{3} - 2 a + b - 7 = 0, - 2 a + b + 1 = 0

を得る。第2式から $b = 2 a - 1$ であり、これを第1式に代入すると $a^{3} - 8 = 0$ となる。 $a$ は実数なので $a = 2, b = 3$ である。

このとき方程式は $x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 8 = 0$ である。係数が実数で、 $1 + i$ が解だから $1 - i$ も解である。したがって $(x - (1 + i)) (x - (1 - i)) = x^{2} - 2 x + 2$ で割ると $x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 8 = (x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + 6 x + 4)$ である。残りの2次方程式 $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ の解は $x = - 3 \pm 5$ である。

よって $a = 2, b = 3$ であり、このときの他の解は $1 - i, - 3 + 5, - 3 - 5$ である。

東北大学 2002年度文理共通数学 文系第1問・理系第1問

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