問題
を正の整数とする．2人が1対1で対戦する競技の大会に人の選手が参加する．1日の試合の組み合わせ表は，どの選手も1試合行うように，試合の組み合わせを決めたものである．
(1) 1日の試合の組み合わせ表は全部で何通りあるか．ただし，試合の順序は考えず，どの選手の対戦相手も同じなら，同じ組み合わせ表とする．
(2) 1日目の組み合わせ表を決めておく．どの選手の対戦相手も1日目と違う2日目の組み合わせ表が通りあるとする．1つの試合だけが1日目と同じ対戦相手で，他のどの選手の対戦相手も1日目と違う2日目の組み合わせ表が何通りあるかを，とを用いて表せ．
(3) ，すなわち参加選手が8人であるとする．1日目の試合が終わった後で，2日目の対戦相手を無作為に決めるとき，どの選手の2日目の対戦相手も1日目と違う確率を求めよ．
方針
(1)は 人を2人組に分ける数を、順に相手を選ぶ方法で数えて重複を割る。(2)は1日目と同じ試合を1つ選び、残り 人について1日目とすべて違う組み合わせ表を作る。(3)は8人の場合の全組み合わせ105通りに対し、1日目と同じ試合の個数で分類して、重複なしの個数 を求める。
解答
(1)
人を2人ずつの組に分ける。まず全員を一列に並べ、先頭から2人ずつ組にすると考えると 通りある。
ただし、各組の中で2人の順序を入れ替えても同じであり、さらに 個の組の順序を入れ替えても同じ組み合わせ表である。したがって総数は である。
(2)
1日目と同じ試合がちょうど1つだけあるとする。その試合の選び方は 通りである。
その1試合に出る2人を除くと、残りは 人、すなわち 人である。この残りの人たちについて、1日目と同じ対戦相手が誰もいない組み合わせ表を作ればよい。その数は定義より 通りである。
したがって求める数は である。
(3)
8人、すなわち のとき、全組み合わせ表の数は である。
1日目の4試合を固定しておく。2日目に1日目と同じ試合が全くない組み合わせ表の数を とする。同じ試合の個数で分類する。
まず、同じ試合がちょうど1つある組み合わせ表は、(2)より 通りである。ここで を求めると、6人の全組み合わせは15通りであり、同じ試合がちょうど1つあるものは 通り、3試合すべて同じものが1通りである。 だから である。
同じ試合がちょうど2つある場合は、その2試合を選んだ後、残り4人について1日目と違う組み合わせを作るので 通りである。同じ試合がちょうど3つということは起こらない。なぜなら3試合が同じなら、残り2人も自動的に1日目と同じ相手になるからである。4試合すべて同じものは1通りである。
したがって より である。
よって求める確率は である。