問題
数直線上を，原点から出発して動く点があるとする．一つのさいころを振り，その出た目が1のとき点を右に1動かし，出た目が2，3のときは右に2動かすものとする．また出た目が4のとき左に1動かし，出た目が5，6のときは左に2動かすものとする．このとき，さいころを5回振った後に点が原点にある確率を求めよ．
出典：東北大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第4問
方針
5回の移動量の和が になる出方を数える。移動量は だが、 と はそれぞれ2つの目に対応するので、単なる符号列ではなく目の重みを含めて数える必要がある。 の出現回数を文字でおき、回数の和と移動量の和の2条件を満たす組を列挙して、最後に各組の並べ方と目の選び方を掛ける。
解答
1回の移動量は、出た目ごとに
である。5回のうち、 が出る回数をそれぞれ とする。5回振るので であり、5回後に原点にある条件は である。
この2式を満たす非負整数の組を調べると である。それぞれについて、 の各回には2通り、 の各回にも2通りの目があるから、該当する出方の数は
である。したがって原点に戻る出方は 通りである。
全事象は 通りなので、求める確率は である。
別解。 の指数で現在位置を表すと、1回の試行に対応する式は である。求める出方の数は の定数項であり、上の4組だけが定数項を作る。したがって定数項は同じく で、確率は となる。