東北大学 1999年度後期・文理共通数学文系第1問・理系第2問解答・解説

問題

1辺の長さが2の正四面体 $A B C D$ がある． $G$ を $△ B C D$ の重心， $H$ を $△ A C D$ の重心とし，直線 $A G$ と $B H$ の交点を $O$ とする．

(1) ベクトル $A O$ をベクトル $A B$ ， $A C$ ， $A D$ を用いて表せ．

(2) $A O + B O + C O + D O$ を求めよ．

(3) 点 $P$ がこの四面体の面上を動くとき， $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} + D P^{2}$ のとりうる値の範囲を求めよ．

出典：東北大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通文系第1問・理系第2問

方針

正四面体の各面の重心をベクトルで表し、直線 $A G$ と $B H$ の交点が4頂点の重心であることを確認する。(1)(2)はその重心表示からすぐに出る。(3)は点 $O$ を基準にして $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} + D P^{2}$ を展開し、一次の項が(2)により消えることを使う。あとは、点 $P$ が四面体の面上を動くときの $O P^{2}$ の最小値と最大値を、面への垂線の足と頂点で求める。

解答

(1)

$G$ は $△ B C D$ の重心であるから

A G = \frac{A B + A C + A D}{3}

である。四面体の4頂点の重心を $O$ とすれば

A O = \frac{A B + A C + A D}{4}

であり、この点は直線 $A G$ 上にある。

また、 $H$ は $△ A C D$ の重心なので、同じ点 $O$ は直線 $B H$ 上にもある。したがって、問題の交点 $O$ は四面体の重心である。よって

A O = \frac{1}{4} (A B + A C + A D)

である。

(2)

$O$ は4頂点の重心であるから、 $O$ を基準にした4つの位置ベクトルの和は0である。すなわち

A O + B O + C O + D O = 0

である。

(3)

$O$ を原点とする位置ベクトルで考える。各頂点の位置ベクトルを $a, b, c, d$ 、点 $P$ の位置ベクトルを $p$ とすると、(2)より $a + b + c + d = 0$ である。したがって

A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} + D P^{2} = ∣ p - a ∣^{2} + ∣ p - b ∣^{2} + ∣ p - c ∣^{2} + ∣ p - d ∣^{2} = 4∣ p ∣^{2} + ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} + ∣ d ∣^{2} - 2 p \cdot (a + b + c + d) = 4 O P^{2} + O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} + O D^{2} .

正四面体の1辺は2である。正四面体の高さは $2^{2} - (\frac{2}{3})^{2} = \frac{2 6}{3}$ であり、重心は頂点から底面への中線を $3 : 1$ に分ける。したがって $O A = O B = O C = O D = \frac{3}{4} \cdot \frac{2 6}{3} = \frac{6}{2}$ であるから $O A^{2} = O B^{2} = O C^{2} = O D^{2} = \frac{3}{2}$ である。よって $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} + D P^{2} = 4 O P^{2} + 6$ となる。

点 $P$ が面上を動くとき、 $O P$ の最小は、 $O$ からいずれかの面へ下ろした垂線の足で起こる。その距離は高さの $1/4$ なので

(\frac{1}{4} \cdot \frac{2 6}{3})^{2} = (\frac{6}{6})^{2} = \frac{1}{6}

である。一方、面上で $O P$ が最大となるのは頂点であり、 $O P^{2} = O A^{2} = \frac{3}{2}$ である。

したがって $4 \cdot \frac{1}{6} + 6 ≦ A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} + D P^{2} ≦ 4 \cdot \frac{3}{2} + 6$ より、求める範囲は $\frac{20}{3} ≦ A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} + D P^{2} ≦ 12$ である。

東北大学 1999年度後期・文理共通数学 文系第1問・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1999年度
後期・文理共通数学文系第1問・理系第2問