東北大学 1982年度文理共通数学前期文系・理系第1問解答・解説

問題

行列 $A = (a c b d)$ $(a, b, c, d は実数)$ は $A^{2} = A$ を満たす．

(1) $b c ≧ \frac{1}{4}$ のとき， $a$ と $d$ の値を求めよ．

(2) さらに， $0 ≦ a + b + c + d < 2$ として，行列 $A$ を求めよ．

出典：東北大学 1982年度前期日程第2次学力試験文理共通前期文系・理系第1問

方針

まず $A^{2} = A$ を成分ごとに比較し、特に $b c = a (1 - a) = d (1 - d)$ を取り出す。実数 $u$ について $u (1 - u) ≦ \frac{1}{4}$ であることから、 $b c ≧ \frac{1}{4}$ は等号の場合しかあり得ない。後半は $a = d = \frac{1}{2}$ 、 $b c = \frac{1}{4}$ を条件 $0 ≦ a + b + c + d < 2$ に代入し、 $b + c$ と $b c$ から $b, c$ を決める。

解答

(1)

A = (a c b d)

について $A^{2} = A$ であるから、成分を比較すると $a^{2} + b c = a, ab + b d = b,$ $a c + c d = c, b c + d^{2} = d$ である。特に $b c = a - a^{2} = a (1 - a), b c = d - d^{2} = d (1 - d)$ が成り立つ。

任意の実数 $u$ について $u (1 - u) = \frac{1}{4} - (u - \frac{1}{2})^{2} ≦ \frac{1}{4}$ であり、等号は $u = \frac{1}{2}$ のときだけである。ところが仮定より $b c ≧ \frac{1}{4}$ である。一方で $b c = a (1 - a) ≦ \frac{1}{4}, b c = d (1 - d) ≦ \frac{1}{4}$ だから、すべて等号でなければならない。よって $b c = \frac{1}{4}, a = d = \frac{1}{2} .$ (2)

(1)より

A = (\frac{1}{2} c b \frac{1}{2}), b c = \frac{1}{4}

である。

条件 $0 ≦ a + b + c + d < 2$ に $a = d = \frac{1}{2}$ を代入すると $0 ≦ 1 + b + c < 2$ すなわち $- 1 ≦ b + c < 1$ である。

また $b c = \frac{1}{4} > 0$ だから、 $b, c$ は同符号である。もし $b, c$ がともに正なら、相加相乗の関係から $b + c ≧ 2 b c = 1$ となり、 $b + c < 1$ に反する。したがって $b, c$ はともに負である。このとき $- (b + c) ≧ 2 b c = 1$ より $b + c ≦ - 1.$ 先ほどの条件 $- 1 ≦ b + c$ と合わせて $b + c = - 1$ である。

したがって $b, c$ は $t^{2} - (b + c) t + b c = 0$ すなわち $t^{2} + t + \frac{1}{4} = 0$ の二つの解である。これは $(t + \frac{1}{2})^{2} = 0$ だから $b = c = - \frac{1}{2} .$ よって

A = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2})

である。

別解の視点

(2)では、 $b c = \frac{1}{4}$ から $b, c$ が同符号であることを先に押さえると場合分けが短くなる。正の場合は $b + c ≧ 1$ で上限に反し、負の場合は $b + c ≦ - 1$ で下限と合わせて等号しか残らない。

東北大学 1982年度文理共通数学 前期 文系・理系 第1問

問題

方針

解答

(1)

別解の視点

東北大学 1982年度
文理共通数学前期文系・理系第1問