東京工業大学 2004年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

$n$ を2以上の偶数とする。2つの曲線 $C_{1} : y = x^{n}$ と $C_{2} : y = n^{x}$ について，次の問いに答えよ。

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ は $x < 0$ において，ただ1つの点 $P_{n}$ で交わることを示せ。

(2) $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の個数を求めよ。

(3) $P_{n}$ の $n \to \infty$ のときの極限の位置を求めよ。

出典：東京工業大学 2004年度後期後期・理系第2問

方針

負の交点は $x = - t (t > 0)$ とおき， $n lo g t + t lo g n = 0$ の解の一意性で示す。正の交点は $h (x) = lo g x / x$ の増減を使って， $h (x) = lo g n / n$ の正の解が2つあることを示す。最後に負の交点を $(- t_{n}, t_{n}^{n})$ と表し，方程式から $t_{n} \to 1$ と $t_{n}^{n} \to 0$ を挟んで示す。

解答

(1)

$x < 0$ での交点を調べるため， $x = - t (t > 0)$ とおく。 $n$ は偶数なので $x^{n} = t^{n}$ であり，交点の条件は $t^{n} = n^{- t}$ である。両辺の対数をとると $n lo g t + t lo g n = 0$ となる。

$F (t) = n lo g t + t lo g n (t > 0)$ とおくと， $F^{'} (t) = \frac{n}{t} + lo g n > 0$ である。したがって $F (t)$ は単調に増加する。また $t \to 0 +$ で $F (t) \to - \infty$ ， $F (1) = lo g n > 0$ であるから， $0 < t < 1$ にただ1つの解をもつ。よって $x < 0$ にただ1つの交点 $P_{n}$ がある。

(2)

$x > 0$ では，交点の条件 $x^{n} = n^{x}$ は $\frac{lo g x}{x} = \frac{lo g n}{n}$ と同値である。 $h (x) = \frac{lo g x}{x} (x > 0)$ とおくと $h^{'} (x) = \frac{1 - lo g x}{x ^{2}}$ であるから， $h (x)$ は $0 < x < e$ で増加し， $x > e$ で減少する。また $h (1) = 0$ ， $h (x) \to 0 (x \to \infty)$ ，最大値は $h (e) = 1/ e$ である。

$n ≧ 2$ かつ $n$ は偶数なので， $0 < lo g n / n < 1/ e$ である。したがって方程式 $h (x) = lo g n / n$ は正の範囲に2つの解をもつ。実際その一つは $x = n$ である。さらに (1) の負の交点が1つあり， $x = 0$ では $x^{n} = 0$ ， $n^{x} = 1$ で交わらない。よって交点の個数は $3$ 個である。

(3)

(1)の負の交点を $P_{n} = (- t_{n}, t_{n}^{n})$ とおく。ここで $0 < t_{n} < 1$ であり， $n lo g t_{n} + t_{n} lo g n = 0$ を満たす。したがって $0 < - lo g t_{n} = \frac{t _{n} l o g n}{n} ≦ \frac{l o g n}{n}$ である。右辺は $n \to \infty$ で $0$ に近づくので， $t_{n} \to 1$ である。

また，十分大きい $n$ では $t_{n} > 1/2$ だから $0 < t_{n}^{n} = n^{- t_{n}} ≦ n^{- 1/2}$ となり， $t_{n}^{n} \to 0$ である。したがって $P_{n}$ は点 $(- 1, 0)$ に近づく。

東京工業大学 2004年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2004年度
後期・理系数学第2問