東京工業大学 1996年度
後期・理系数学 第1問

解答

$u=\theta /2$，$T=\tan u$ とおく。$C_{\theta }$ の中心を $M=(\alpha ,\beta )$，半径を $\rho$ とする。$C$ と $C_{\theta }$ は直交するので $O{M}^2=1+{\rho }^2$ である。また $P$ を通るから ${\rho }^2=(\alpha -1{)}^2+{\beta }^2$ である。両式を比べて $\alpha =1$ を得る。

さらに $Q$ を通ることから$(\cos \theta -1{)}^2+(\sin \theta -\beta {)}^2={\beta }^2$であり，整理して $\beta =(1-\cos \theta )/\sin \theta =T$ である。よって $M=(1,T)$，半径は $T$ である。

(1)

$\angle POQ=\theta$ である。また $PQ=2\sin u$，$C_{\theta }$ の半径は $T$ だから，$C_{\theta }$ における中心角を $\varphi$ とすると $2T\sin (\varphi /2)=2\sin u$ である。$0<\varphi <\pi$ より $\varphi =\pi -\theta$ である。

共通部分は，半径 $1$，中心角 $\theta$ の扇形と，半径 $T$，中心角 $\pi -\theta$ の扇形を合わせ，四角形 $OPMQ$ を引いたものである。四角形 $OPMQ$ の面積は$\frac{1}{2}\{T+\sin \theta -T\cos \theta \}=T$である。したがって

である。

(2)

$M$ は弦 $PQ$ の垂直二等分線上にあり，この直線は $O$ も通る。よって円弧 $PQ$ の中点 $A_{\theta }$ は直線 $OM$ 上にある。$C$ の内部にある方の中点は，$M$ から $O$ の向きへ半径 $T$ だけ進んだ点である。

$OM=\sqrt{1+T^2}=1/\cos u$ で，直線 $OM$ の単位方向は $(\cos u,\sin u)$ である。したがって$A_{\theta }=(1-\sin u,(1-\sin u)\tan u)$である。

$A_{\theta }=(x,y)$ とおくと，$x=1-\sin u$，$y=x\tan u$ である。これより$y^2=\frac{x(1-x{)}^2}{2-x}$を得る。範囲は $0<x<1,y>0$ である。すなわち軌跡は$(2-x)y^2=x(1-x{)}^2,0<x<1,y>0$である。

(3)

求める立体の体積は，(2)の軌跡の閉包と $x$ 軸で囲まれる部分を回転するものとして

である。ここで$\frac{x(1-x{)}^2}{2-x}=-x^2-1+\frac{2}{2-x}$だから，

である。