大阪大学 2026年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とする．関数 $f (x) = 4 a x^{3} + \frac{1 - a}{a} - 6 \int_{x - 1}^{x} (t^{2} + t) d t$ の $0 ≦ x ≦ 1$ における最小値が正となるような $a$ の値の範囲を求めよ．

出典：大阪大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

まず定積分を実際に計算し， $f (x)$ を $4 a x^{3} - 6 x^{2} + 1/ a$ という多項式に直す。最小値が正である条件なので， $f^{'} (x) = 12 x (a x - 1)$ から区間 $0 ≦ x ≦ 1$ における最小点を決める。臨界点 $x = 1/ a$ が区間に入るかどうかが変わるため， $0 < a < 1$ と $a ≧ 1$ に分け，それぞれの最小値を $> 0$ として解く。

解答

まず定積分を計算する。

\int_{x - 1}^{x} (t^{2} + t) d t = [\frac{t ^{3}}{3} + \frac{t ^{2}}{2}]_{x - 1}^{x} = (\frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2}) - (\frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} + \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2}) = x^{2} - \frac{1}{6} .

したがって

f (x) = 4 a x^{3} + \frac{1 - a}{a} - 6 (x^{2} - \frac{1}{6}) = 4 a x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{a}

である。よって $f^{'} (x) = 12 a x^{2} - 12 x = 12 x (a x - 1)$ である。

(i) $0 < a < 1$ のとき

$0 < x ≦ 1$ では $a x < 1$ であるから $f^{'} (x) = 12 x (a x - 1) < 0$ である。したがって $f (x)$ は $[0, 1]$ で減少し，最小値は $x = 1$ でとる。よって必要十分条件は $f (1) > 0$ である。ここで $f (1) = 4 a - 6 + \frac{1}{a}$ だから， $a > 0$ に注意して $4 a - 6 + \frac{1}{a} > 0 ⟺ 4 a^{2} - 6 a + 1 > 0$ である。二次方程式 $4 a^{2} - 6 a + 1 = 0$ の解は $a = \frac{3 \pm 5}{4}$ である。よって $0 < a < 1$ と合わせると $0 < a < \frac{3 - 5}{4}$ を得る。

(ii) $a ≧ 1$ のとき

このとき $0 < \frac{1}{a} ≦ 1$ である。導関数の符号は， $0 < x < 1/ a$ で負， $1/ a < x ≦ 1$ で正となるので，最小値は $x = 1/ a$ でとる。したがって必要十分条件は $f (\frac{1}{a}) > 0$ である。計算すると

f (\frac{1}{a}) = 4 a \cdot \frac{1}{a ^{3}} - 6 \cdot \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{a} = \frac{4}{a ^{2}} - \frac{6}{a ^{2}} + \frac{1}{a} = \frac{a - 2}{a ^{2}}

である。 $a^{2} > 0$ だから，これは $a > 2$ と同値である。 $a = 2$ のとき最小値は $0$ であり，問題の「正」には含まれない。

以上より，求める範囲は $0 < a < \frac{3 - 5}{4}, 2 < a$ である。

大阪大学 2026年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(i) 0<a<1 のとき

(ii) a≧1 のとき

大阪大学 2026年度
文系数学第3問

(i) $0 < a < 1$ のとき

(ii) $a ≧ 1$ のとき