問題
平面上の三角形を考える．は鋭角，，とする．また，点から直線に下ろした垂線と直線の交点をとし，とする．線分をに内分する点を，点から直線に下ろした垂線と直線との交点をとする．
(1) 内積をを用いて表せ．
(2) 線分の長さをを用いて表せ．
(3) 線分の中点をとする．点が線分上にあるとき，のとりうる値の範囲を求めよ．
方針
直線 を 軸に取り，， とおく。 が鋭角で， から への射影の長さが なので， の 座標は ， から高さは と決まる。(2)では を内分点公式で出し， とおいて を内積 で表す。(3)は が線分 上にあることを に翻訳し，分母 を確認して2つの二次不等式を解く。
解答
(1)
直線 を 軸に取り，， とおく。 は長さなので である。
点 から直線 に下ろした垂線の足が で， である。また は鋭角なので， は から へ向かう向きにある。したがって， の 座標は としてよい。 より， の 座標の絶対値は である。上下どちらにあっても内積や長さの答えは同じなので， として計算する。
このとき であるから， である。
(2)
点 は線分 を に内分するので， である。よって である。
は直線 上にあるから， とおく。直線 は直線 に垂直なので， である。ここで
だから， すなわち である。したがって である。 より なので，求める長さは である。
(3)
は の中点なので，座標は である。 が線分 上にあるための条件は である。(2)の結果を代入すると である。ここで であるから，分母を払ってよい。
右側の不等式から すなわち を得る。よって であり， を考えると である。
左側の不等式から すなわち を得る。よって であり， を考えると である。
以上を合わせて，求める範囲は である。