大阪大学 2023年度
理系数学 第3問

解答

曲線 $y=\cos x$ の $x=t$ における接線は、傾きが $-\sin t$ であるから $y=\cos t-\sin t(x-t)$ である。これが点 $P(a,b)$ を通る条件は $b=\cos t+(t-a)\sin t$ である。そこで $g(t)=\cos t+(t-a)\sin t(-\pi \leqq t\leqq \pi )$ とおく。求める $N(P)$ は、水平線 $y=b$ と $y=g(t)$ の交点数である。

微分すると $g^{\prime }(t)=-\sin t+\sin t+(t-a)\cos t=(t-a)\cos t$ である。また、必要な値は $g(-\pi )=-1,g(\pi )=-1,$

である。

まず $0<a<\frac{\pi }{2}$ とする。このとき臨界点の順序は $-\pi <-\frac{\pi }{2}<a<\frac{\pi }{2}<\pi$ であり、$g^{\prime }(t)$ の符号から $g(t)$ は順に、増加、減少、増加、減少する。さらに $\cos a<\frac{\pi }{2}-a$ である。実際、$h(a)=\frac{\pi }{2}-a-\cos a$ とおくと、$h^{\prime }(a)=\sin a-1<0$ かつ $h(\frac{\pi }{2})=0$ なので、$0<a<\frac{\pi }{2}$ では $h(a)>0$ である。

この場合、4つの単調区間の値域を合わせて見ると、水平線が4回交わるためには、局所最小値 $g(a)=\cos a$ より上で、右側の局所最大値 $g(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}-a$ より下でなければならない。逆に $\cos a<b<\frac{\pi }{2}-a$ なら4つの単調区間それぞれの内部でちょうど1回ずつ交わる。境界で等号になると、$t=a$ または $t=\frac{\pi }{2}$ で交点が重なり、個数は4にならない。

次に $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ とする。このとき臨界点の順序は $-\pi <-\frac{\pi }{2}<\frac{\pi }{2}<a<\pi$ であり、$g(t)$ は順に、増加、減少、増加、減少する。また $\frac{\pi }{2}-a<\cos a$ である。これは $k(a)=\cos a+a-\frac{\pi }{2}$ とおくと、$k^{\prime }(a)=1-\sin a>0$、$k(\frac{\pi }{2})=0$ から従う。

この場合、中央の谷の値は $g(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}-a$、右側の山の値は $g(a)=\cos a$ である。4つの単調区間すべてで1回ずつ交わるには、右端および左端の値 $-1$ よりも上にあり、かつ中央の谷よりも上にあり、さらに右側の山よりも下にある必要がある。したがって条件は $\max \left\{-1,\frac{\pi }{2}-a\right\}<b<\cos a$ である。ここでも等号の場合は端点または極値で交点が重なるため、$N(P)=4$ にはならない。 $a=\frac{\pi }{2}$ のときは $t=a$ と $t=\frac{\pi }{2}$ が重なり、単調区間が4本に分かれないので、4個の解は生じない。

以上より、求める存在範囲は $0<a<\frac{\pi }{2},\cos a<b<\frac{\pi }{2}-a$ または $\frac{\pi }{2}<a<\pi ,\max \left\{-1,\frac{\pi }{2}-a\right\}<b<\cos a$ である。図示すると、左側 $0<a<\frac{\pi }{2}$ では下側境界が $b=\cos a$、上側境界が直線 $b=\frac{\pi }{2}-a$ である。右側では上側境界が $b=\cos a$、下側境界は $a=\frac{\pi }{2}+1$ までは直線 $b=\frac{\pi }{2}-a$、それ以後は直線 $b=-1$ に切り替わる。すべての境界線は含まれない。