問題
平面上の3点，，が
をみたすとする．
(1) を求めよ．
(2) 平面上の点が
をみたすように動くとき，の最大値と最小値を求めよ．
出典：大阪大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第3問・理系第2問
方針
、 とおくと、 である。条件から と が単位直交ベクトルになることをまず示す。(2) では と座標化し、中心 、半径 の円板を半平面 で切った領域で、原点からの距離の最大・最小を調べる。
解答
(1)
とおく。条件より である。また だから である。与えられた内積条件は と書ける。両辺を3倍して である。 より を得る。したがって
である。
(2)
(1) より は互いに垂直な単位ベクトルである。平面上の任意の点 について と表すと、 である。
さらに なので、1つ目の条件は となる。2つ目の条件は
である。したがって の動く範囲は、中心 、半径 の円板のうち、直線 の左側である。
最小値を考える。原点 から中心 までの距離は
であり、これは半径 より大きい。したがって円板全体での最短距離は である。この最短点は中心から原点方向に半径だけ進んだ点で、座標は であるから、確かに をみたす。よってこの値が条件下での最小値である。
次に最大値を考える。領域の境界は、円周の左半分と線分 からなる。線分上では だから、 の最大は のときで、値は である。
円周の左半分では
とおける。このとき である。 のもとでは、 なら 、 なら である。したがって であり、等号は のとき成り立つ。よって円周上でも最大の は である。
以上から
である。