問題
空間内に，同一平面上にない4点，，，がある．を，をみたす実数とする．線分をに内分する点を，線分をに内分する点を，線分をに内分する点を，線分をに内分する点をとする．さらに4点，，，が同一平面上にあるとする．
(1) をを用いて表せ．
(2) ，，，，，であるとき，の値を求めよ．
出典：大阪大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第2問
方針
を独立な基底として、 の位置ベクトルを成分表示する。4点の同一平面条件は、 を と の一次結合で表して係数比較するのが最短である。(2)では、(1)で得た を に代入し、角度条件から内積を数値化して を決める。
解答
(1)
とおく。4点 は同一平面上にないので、 は互いに独立なベクトルである。
内分比より
である。また、 は を に内分するから であり、 は を に内分するから である。
4点 が同一平面上にあることは、ある実数 を用いて
と表せることと同値である。各ベクトルを で表すと
である。 成分、 成分から を得る。これを 成分 に代入すると である。両辺に を掛けて整理すると すなわち となる。よって である。
(2)
条件より であり、角度条件から
である。
また
である。 より でなければならない。左辺を展開すると である。ここに (1) の を代入すると となる。したがって であり、 を得る。この値は をみたすので、求める値である。