大阪大学 2019年度
文理共通数学 文系第3問・理系第5問

解答

$S_1$ の中心を $O_1=(1,1,1)$ とし、$S_2$ の中心を $O_2=(2,3,3)$ とする。2つの球面の方程式を引くと、共通部分 $C$ を含む平面は $2x+4y+4z=25$ である。この平面を $\Pi$ とおく。

法線ベクトルは $(2,4,4)=2(1,2,2)$ であり、これは $\overrightarrow{O_1{O}_2}=(1,2,2)$ と平行である。したがって $\Pi$ は直線 $O_1{O}_2$ に垂直である。 $O_1$ から $\Pi$ までの距離は $\frac{|2+4+4-25|}{\sqrt{2^2+4^2+4^2}}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$ である。また $S_1$ の半径は $\sqrt{7}$ であるから、共通円 $C$ の半径の2乗は $7-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$ である。

共通円の中心 $H$ は、$O_1$ から $\Pi$ に下ろした垂線の足である。$(1,2,2)$ 方向の単位ベクトルは $\frac{1}{3}(1,2,2)$ なので

である。

(1)

円 $C$ を通る球面の中心は、円 $C$ の平面 $\Pi$ に垂直で、中心 $H$ を通る直線上になければならない。半径が最小になるのは、球面の中心が円の中心 $H$ と一致するときである。このとき半径の2乗は $\frac{3}{4}$ である。

よって求める球面は

である。

(2)

半径が $\sqrt{3}$ の球面が円 $C$ を通るとする。共通円 $C$ の半径の2乗は $\frac{3}{4}$ なので、その球面の中心は $H$ から $\Pi$ に垂直な方向へ距離 $\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}$ だけ離れた点である。

法線方向の単位ベクトルは $\frac{1}{3}(1,2,2)$ であるから、中心は $H\pm \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}(1,2,2)$ である。すなわち

である。

したがって求める球面は

および

である。