問題
1個のさいころを3回投げる試行において，1回目に出る目を，2回目に出る目を，3回目に出る目をとする．
(1) である確率を求めよ．
(2) ，が2以上かつである確率を求めよ．
出典：大阪大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1) は と置いて積分区間を から に直し、 と の2場合に分けて数える。後者は というさいころの目の整数条件なので、実際の組を列挙して重複を避ける。(2) は 、 とおいて に因数分解し、 の場合と の場合の重なりを1つだけ引く。
解答
(1)
とおくと、 であり、 である。右辺は
となる。したがって条件は または である。 の場合、 は6通り、 も6通りなので 通りである。次に とする。このとき であり、 を満たす組は の6通りである。よって条件を満たす組は合計 通りだから、求める確率は である。
(2)
条件に と が現れるので、 に注意する。そこで とおくと、底の変換より である。与えられた条件は すなわち と因数分解できる。 のときは だから である。この場合、 はそれぞれ の5通りなので 通りである。 のときは だから である。 がさいころの目で を満たすものは だけであり、このとき は の6通りである。ただし は の場合にも含まれるので、重複を1つ引く。
したがって条件を満たす組は 通りである。求める確率は である。