大阪大学 2018年度
文理共通数学 文系第3問・理系第4問

解答

(1)

内分公式より、各点の座標は $P=(1-s,0,s),Q=(0,1-s,s)$ $R=(t-1,0,-t),S=(0,t-1,-t)$ である。したがって

となる。ここで $\overrightarrow{RS}=-\frac{1-t}{1-s}\overrightarrow{PQ}$ であり、$0<s,t<1$ だから $PQ$ と $RS$ は平行である。直線 $PQ$ と点 $R$ を含む平面を考えると、その平面には $R$ を通り $PQ$ に平行な直線も含まれる。点 $S$ はその直線上にあるので、4点 $P,Q,R,S$ は同一平面上にある。

(2)

$L,M$ の座標は

である。よって

となり、

である。$u=s+t$ とおくと $0<u<2$ で、$L{M}^2=\frac{3}{2}{u}^2-2u+2=\frac{3}{2}{\left(u-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{4}{3}$ である。したがって最小値は $u=2/3$、すなわち $s+t=2/3$ のときに実現し、$m=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ である。

(3)

$LM=m$ のとき、(2) より $s+t=\frac{2}{3}$ である。4点を通る平面を $x+y-2z=k$ とおくと、点 $P$ を代入して $k=1-s-2s=1-3s$ である。また $t=2/3-s$ より $k=1-3s=\frac{3}{2}(t-s)$ とも書ける。$0<s,t<1$ かつ $s+t=2/3$ なので $-1<k<1$ である。

正八面体は $|x|+|y|+|z|\leqq 1$ で表される。まず $0\leqq k<1$ とする。平面 $x+y-2z=k$ と正八面体の各辺との交点を調べると、断面六角形の頂点は順に

である。

この平面の法線ベクトルは $\vec{n}=(1,1,-2)$ で、$|\vec{n}|=\sqrt{6}$ である。断面を $xy$ 平面へ正射影した面積を $A_{xy}$ とすると、射影による面積比は $A_{xy}=\frac{|n_z|}{|\vec{n}|}X=\frac{2}{\sqrt{6}}X$ だから $X=\frac{\sqrt{6}}{2}{A}_{xy}$ である。 $V_i$ の $xy$ 座標を同じ順に並べて靴紐公式を用いると、

である。ただし $(x_7,y_7)=(x_1,y_1)$ とした。したがって $A_{xy}=\frac{2(5-k^2)}{9},X=\frac{\sqrt{6}}{9}(5-k^2)$ を得る。 $k<0$ の場合は、正八面体の点 $(x,y,z)$ を $(-x,-y,-z)$ に移す対称性により、平面 $x+y-2z=k$ の断面積は $x+y-2z=-k$ の断面積と等しい。よって $-1<k<1$ 全体で上の式が使える。

したがって $X$ が最大となるのは $k^2$ が最小、すなわち $k=0$ のときである。このとき $k=\frac{3}{2}(t-s)$ より $s=t$ であり、$s+t=2/3$ と合わせて $s=t=\frac{1}{3}$ である。最大値は $X=\frac{5\sqrt{6}}{9}$ である。