大阪大学 2015年度文理共通数学文系第1問・理系第2問解答・解説

問題

実数 $x$ ， $y$ が $∣ x ∣ ≦ 1$ と $∣ y ∣ ≦ 1$ を満たすとき，不等式

0 ≦ x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} y^{2} + 2 x y 1 - x^{2} 1 - y^{2} ≦ 1

が成り立つことを示せ．

出典：大阪大学 2015年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第2問

方針

平方根が非負であることを保つため、まず $∣ x ∣ ≦ 1, ∣ y ∣ ≦ 1$ から $x = sin α, y = sin β$ と置く。角を $- π /2 ≦ α, β ≦ π /2$ に取れば $1 - x^{2} = cos α, 1 - y^{2} = cos β$ とでき、与式は加法定理で $sin^{2} (α + β)$ にまとまる。別解として、与式そのものと $1$ から引いた式がどちらも平方になることも確認し、上限・下限の理由を二重に押さえる。

解答

与えられた式を $F = x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} y^{2} + 2 x y 1 - x^{2} 1 - y^{2}$ とおく。 $∣ x ∣ ≦ 1$ であるから、

x = sin α (- \frac{π}{2} ≦ α ≦ \frac{π}{2})

と表せる。同様に

y = sin β (- \frac{π}{2} ≦ β ≦ \frac{π}{2})

と表せる。この範囲では $cos α ≧ 0, cos β ≧ 0$ であるから、

1 - x^{2} = 1 - sin^{2} α = cos α, 1 - y^{2} = cos β

である。

これを $F$ に代入すると

F = sin^{2} α + sin^{2} β - 2 sin^{2} α sin^{2} β + 2 sin α sin β cos α cos β = sin^{2} α cos^{2} β + cos^{2} α sin^{2} β + 2 sin α cos β cos α sin β = (sin α cos β + cos α sin β)^{2} = sin^{2} (α + β)

となる。したがって、任意の実数 $α + β$ に対して $0 ≦ sin^{2} (α + β) ≦ 1$ であるから、 $0 ≦ F ≦ 1$ が成り立つ。

別解。三角置換を使わず、平方の形だけで示すこともできる。まず

F = x^{2} (1 - y^{2}) + y^{2} (1 - x^{2}) + 2 x y 1 - x^{2} 1 - y^{2} = {x 1 - y^{2} + y 1 - x^{2}}^{2}

である。よって $F ≧ 0$ である。

また

1 - F = 1 - x^{2} - y^{2} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x y 1 - x^{2} 1 - y^{2} = {1 - x^{2} 1 - y^{2} - x y}^{2}

である。よって $1 - F ≧ 0$ 、すなわち $F ≦ 1$ である。したがって同じく $0 ≦ F ≦ 1$ が従う。

大阪大学 2015年度文理共通数学 文系第1問・理系第2問

問題

方針

解答

大阪大学 2015年度
文理共通数学文系第1問・理系第2問