大阪大学 2011年度文理共通数学文系第2問・理系第3問解答・解説

問題

実数の組 $(p, q)$ に対し， $f (x) = (x - p)^{2} + q$ とおく．

(1) 放物線 $y = f (x)$ が点 $(0, 1)$ を通り，しかも直線 $y = x$ の $x > 0$ の部分と接するような実数の組 $(p, q)$ と接点の座標を求めよ．

(2) 実数の組 $(p_{1}, q_{1})$ ， $(p_{2}, q_{2})$ に対して， $f_{1} (x) = (x - p_{1})^{2} + q_{1}$ および $f_{2} (x) = (x - p_{2})^{2} + q_{2}$ とおく．実数 $α$ ， $β$ （ただし $α < β$ ）に対して

f_{1} (α) < f_{2} (α) かつ f_{1} (β) < f_{2} (β)

であるならば，区間 $α ≦ x ≦ β$ において不等式 $f_{1} (x) < f_{2} (x)$ がつねに成り立つことを示せ．

(3) 長方形 $R : 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 2$ を考える．また，4点 $P_{0} (0, 1)$ ， $P_{1} (0, 0)$ ， $P_{2} (1, 1)$ ， $P_{3} (1, 0)$ をこの順に線分で結んで得られる折れ線を $L$ とする．実数の組 $(p, q)$ を，放物線 $y = f (x)$ と折れ線 $L$ に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき， $R$ の点のうちで放物線 $y = f (x)$ が通過する点全体の集合を $T$ とする． $R$ から $T$ を除いた領域 $S$ を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

出典：大阪大学 2011年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第2問・理系第3問

方針

(1)は接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接する条件を $f^{'} (t) = 1$ 、通る条件を $f (t) = t$ として処理する。さらに $(0, 1)$ を通る条件で $p, q$ を決め、接点が $x > 0$ 側にあるものだけを残す。(2)は $f_{1} - f_{2}$ で2次の項が消えて一次式になることを使い、端点で負なら区間内でも負であることを示す。(3)は折れ線 $L$ を避ける放物線を、 $y = x$ の上側にある場合と下側にある場合に分ける。長方形 $R$ に現れるのは上側の場合だけで、縦線分と斜め線分を避けるための $q$ の下限を固定した $p$ ごとに求める。最後に固定した $x$ で到達できる最小の $y$ を最小化し、 $S$ の境界と面積を出す。

解答

(1)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。放物線 $f (x) = (x - p)^{2} + q$ の導関数は $f^{'} (x) = 2 (x - p)$ である。直線 $y = x$ と接するので、接点での傾きが1に等しい。したがって $2 (t - p) = 1$ であり、 $t = p + \frac{1}{2}$ である。また接点は直線 $y = x$ 上にあるから $f (t) = t$ である。すなわち $(t - p)^{2} + q = t$ であり、 $t - p = 1/2$ を用いると $\frac{1}{4} + q = p + \frac{1}{2}$ だから $q = p + \frac{1}{4}$ である。

さらに放物線は点 $(0, 1)$ を通るので $f (0) = p^{2} + q = 1$ である。ここに $q = p + 1/4$ を代入して $p^{2} + p + \frac{1}{4} = 1$ すなわち $p^{2} + p - \frac{3}{4} = 0$ を得る。よって $(2 p - 1) (2 p + 3) = 0$ であり、 $p = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$ である。

それぞれの接点の $x$ 座標は $t = p + 1/2$ だから、 $p = 1/2$ のとき $t = 1$ 、 $p = - 3/2$ のとき $t = - 1$ である。条件は直線 $y = x$ の $x > 0$ の部分と接することであるから、 $t > 0$ となる $p = 1/2$ だけが適する。このとき $q = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ であり、接点は $(t, t) = (1, 1)$ である。したがって $(p, q) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{4}), 接点 (1, 1)$ である。

(2)

差をとると $f_{1} (x) - f_{2} (x) = {(x - p_{1})^{2} + q_{1}} - {(x - p_{2})^{2} + q_{2}}$ である。展開すると $x^{2}$ の項が消え、 $f_{1} (x) - f_{2} (x) = 2 (p_{2} - p_{1}) x + (p_{1}^{2} - p_{2}^{2} + q_{1} - q_{2})$ となる。したがって $f_{1} (x) - f_{2} (x)$ は $x$ の一次式である。

一次式を $g (x) = f_{1} (x) - f_{2} (x)$ とおく。仮定より $g (α) < 0, g (β) < 0$ である。 $α ≦ x ≦ β$ のとき、ある $0 ≦ λ ≦ 1$ を用いて $x = (1 - λ) α + λ β$ と表せる。一次式の性質から $g (x) = (1 - λ) g (α) + λ g (β)$ である。右辺は負の数の和であるから $g (x) < 0$ である。よって $f_{1} (x) < f_{2} (x) (α ≦ x ≦ β)$ が成り立つ。

(3)

折れ線 $L$ は、縦線分 $x = 0, 0 ≦ y ≦ 1$ と、斜め線分 $y = x, 0 ≦ x ≦ 1$ と、縦線分 $x = 1, 0 ≦ y ≦ 1$ からなる。

放物線 $y = f (x)$ が斜め線分 $y = x$ と共有点をもたないなら、 $0 ≦ x ≦ 1$ で $f (x) - x$ は0にならない。したがってこの区間で $f (x) > x が常に成り立つ$ か、または $f (x) < x が常に成り立つ$ かのどちらかである。

まず $f (x) < x$ が常に成り立つ場合を考える。縦線分を避けるためには、 $x = 0$ で $f (0)$ が $[0, 1]$ に入ってはならない。しかも $f (0) < 0$ である。同様に $x = 1$ でも $f (1) < 1$ であり、縦線分を避けるためには $f (1) < 0$ でなければならない。放物線 $f (x)$ は下に凸なので、 $0 ≦ x ≦ 1$ では両端の値を結ぶ線分以下にあり、特に $f (x) < 0$ となる。したがってこの場合、長方形 $R$ の内部の点 $(x, y)$ で $0 ≦ y ≦ 2$ を通過しない。

よって $R$ に現れる放物線は $f (x) > x (0 ≦ x ≦ 1)$ を満たすものだけである。このとき縦線分を避ける条件は $f (0) > 1, f (1) > 1$ である。

固定した $p$ について、これらの条件を $q$ の条件に直す。まず $f (0) = p^{2} + q > 1$ より $q > 1 - p^{2}$ であり、 $f (1) = (1 - p)^{2} + q > 1$ より $q > 1 - (1 - p)^{2} = 2 p - p^{2}$ である。また $f (x) > x$ が $0 ≦ x ≦ 1$ で成り立つためには $(x - p)^{2} + q > x$ すなわち $q > x - (x - p)^{2} (0 ≦ x ≦ 1)$ が必要である。

右辺 $x - (x - p)^{2}$ の最大値も考慮すると、結局 $q$ は $1 - p^{2}, 2 p - p^{2}, max_{0 ≦ x ≦ 1} {x - (x - p)^{2}}$ より大きくなければならない。この3つの最大を調べると、 $p ≦ 1/2$ では $q > 1 - p^{2}$ が下限を与え、 $p ≧ 1/2$ では $q > 2 p - p^{2}$ が下限を与える。実際、 $p ≦ 1/2$ では $1 - p^{2} ≧ 2 p - p^{2}$ であり、斜め線分から来る最大値も $1 - p^{2}$ 以下である。 $p ≧ 1/2$ では $2 p - p^{2} ≧ 1 - p^{2}$ で、斜め線分から来る最大値も $2 p - p^{2}$ 以下である。

したがって、固定した $x$ に対して放物線が到達できる $y$ の下限を求める。 $p ≦ 1/2$ の側では $y = (x - p)^{2} + q$ の下限は $(x - p)^{2} + 1 - p^{2} = x^{2} - 2 p x + 1$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では、これは $p$ が大きいほど小さいので、 $p = 1/2$ で最小となる。

一方、 $p ≧ 1/2$ の側では下限は $(x - p)^{2} + 2 p - p^{2} = x^{2} + 2 p (1 - x)$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では、これは $p$ が小さいほど小さいので、やはり $p = 1/2$ で最小となる。

よって固定した $x$ で到達できる最小境界は $y = x^{2} - x + 1$ である。したがって、長方形 $R$ の中で放物線が通過できる点全体 $T$ は、この曲線より上側に現れる。したがって $R$ から $T$ を除いた領域 $S$ は、面積の計算上 $0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ x^{2} - x + 1$ で表される領域である。

よってその面積は

\int_{0}^{1} (x^{2} - x + 1) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + x]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{6}

である。境界曲線 $y = x^{2} - x + 1$ は、(1) で得た $p = 1/2, q = 3/4$ の放物線であり、折れ線に接する限界の放物線になっている。

大阪大学 2011年度文理共通数学 文系第2問・理系第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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