大阪大学 2008年度文理共通数学文系第1問・理系第2問解答・解説

問題

点 $O$ で交わる2つの半直線 $O X$ ， $O Y$ があって $∠ X O Y = 60^{\circ}$ とする．2点 $A$ ， $B$ が $O X$ 上に $O, A, B$ の順に，また，2点 $C$ ， $D$ が $O Y$ 上に $O, C, D$ の順に並んでいるとして，線分 $A C$ の中点を $M$ ，線分 $B D$ の中点を $N$ とする．線分 $A B$ の長さを $s$ ，線分 $C D$ の長さを $t$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(1) 線分 $M N$ の長さを $s$ と $t$ を用いて表せ．

(2) 点 $A$ ， $B$ と $C$ ， $D$ が， $s^{2} + t^{2} = 1$ を満たしながら動くとき，線分 $M N$ の長さの最大値を求めよ．

出典：大阪大学 2008年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第2問

方針

$O X$ 方向の単位ベクトルを $e_{1}$ ， $O Y$ 方向の単位ベクトルを $e_{2}$ とする。 $∠ X O Y = 6 0^{\circ}$ なので $e_{1} \cdot e_{2} = 1/2$ である。中点の差を取ると $M N = \frac{1}{2} (A B + C D)$ となり，これは $\frac{1}{2} (s e_{1} + t e_{2})$ である。(2)は $M N^{2} = \frac{1}{4} (s^{2} + s t + t^{2})$ と $s^{2} + t^{2} = 1$ から， $s t$ の最大化に帰着する。

解答

(1)

$O X$ 方向の単位ベクトルを $e_{1}$ ， $O Y$ 方向の単位ベクトルを $e_{2}$ とする。 $∠ X O Y = 6 0^{\circ}$ より $e_{1} \cdot e_{2} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ である。

点 $O, A, B$ がこの順に $O X$ 上にあり， $A B = s$ であるから $A B = s e_{1}$ である。同様に $C D = t$ より $C D = t e_{2}$ である。 $M$ は $A C$ の中点， $N$ は $B D$ の中点であるから，位置ベクトルで書くと

O M = \frac{O A + O C}{2}, O N = \frac{O B + O D}{2} .

したがって

M N = O N - O M = \frac{A B + C D}{2} = \frac{1}{2} (s e_{1} + t e_{2}) .

よって

M N^{2} = \frac{1}{4} (s e_{1} + t e_{2}) \cdot (s e_{1} + t e_{2}) = \frac{1}{4} {s^{2} + t^{2} + 2 s t (e_{1} \cdot e_{2})} = \frac{1}{4} (s^{2} + s t + t^{2}) .

したがって $M N = \frac{1}{2} s^{2} + s t + t^{2}$ である。

(2)

条件 $s^{2} + t^{2} = 1$ のもとで，(1)の式は $M N^{2} = \frac{1}{4} (1 + s t)$ となる。 $s, t$ は長さなので正である。相加平均・相乗平均の関係，または $(s - t)^{2} ≧ 0$ より $2 s t ≦ s^{2} + t^{2} = 1$ である。したがって $s t ≦ \frac{1}{2}$ であり，等号は $s = t$ のとき，すなわち $s = t = \frac{1}{2}$ のとき成り立つ。

よって $M N^{2} ≦ \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{8}$ である。したがって $M N$ の最大値は $\frac{3}{8} = \frac{6}{4}$ である。

大阪大学 2008年度文理共通数学 文系第1問・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2008年度
文理共通数学文系第1問・理系第2問